Norm-peak multilinear mappings on $\mathbb{R}^n$ with a certain norm
Abstract
Let $n\geq 2.$ A continuous $n$-linear mapping $T$ from a
Banach space $E$ into a Banach space $F$ is called
norm-peak if there is unique
$(x_1, \ldots, x_n)\in E^n$ such that
$\|x_1\|=\cdots=\|x_n\|=1$ and $T$ attains its norm only
at $(\pm x_1, \ldots, \pm x_n).$
Let $\mathbb{R}^n_{\|\cdot\|}=\mathbb{R}^n$ with a norm satisfying that $\{W_1, \ldots, W_n\}$ forms a basis and
the set of all extreme points of $B_{\mathbb{R}^n_{\|\cdot\|}}$ is $\{\pm W_1, \ldots, \pm W_n\}$.
In this note, we characterize all norm-peak multilinear
mapping from $\mathbb{R}^n_{\|\cdot\|}$ into $F$.
Нехай $N\geq 2.$ Неперервне $ n $-лінійне
відображення $T $ з банахового простору $E $ в банахів
простор $ F $ називається відобрженням з піковим
значунням норми, якщо існує єдиний
$(x_1, \ldots, x_n)$ в $E ^ n$ такий, що
$\| x_1\| =\cdots=\| x_n\| =1 $ і $ T $ досягає своєї
норми тільки при $(\pm x_1, \ldots, \pm x_n).$
Нехай $ \mathbb {R} ^ n_ {|/\cdot|/} = \mathbb {R} ^ n$ із
нормою, що задовольняє тому, що $\{W_1, \ldots, W_n\} $
утворює базис, і $\{\pm W_1, \ldots, \pm w_n\}$ -- множина
всіх екстремальних точок множини
$B_ {\mathbb{R}^n_{\|\cdot\|}}$.
В цій статті описуються всі полілінійні відображення з
піковими значеннями норми з $ \mathbb {R} ^ n_ {\|\cdot\|}$
в $F$.
Key words: Norming points, Norm-peak multilinaer mappings.
Full Text
