Tensor product and variants of Weyl's type theorem for $p$-$w$-hyponormal operators
Abstract
A Hilbert space operator $T$ is said to be $p$-$w$-hyponormal with $0 < p\leq 1$ if $|\widetilde{T}|^p\geq |T|^p\geq |\widetilde{T}^{*}|^p$, where $\widetilde{T}$
is the Aluthge transform. In this paper we prove basic properties of
these operators. Using these results, we also prove that if $P$ is a
Riesz idempotent for a non-zero isolated point $\lambda$ of the
spectrum of $T$, then $P$ is self-adjoint. Among other things, we
prove these operators are finitely ascensive and that, for non-zero
$p$-$w$-hyponormal $T$ and $S$, $T\otimes S$ is $p$-$w$-hyponormal if
and only if $T$ and $S$ are $p$-$w$-hyponormal. Moreover, it is
shown that property $(gt)$ holds for $f(T)$, where
$f\in H_{nc}(\sigma(T)).$
Оператор $T$ у гільбертовім просторі називається
$p$-$w$-гіпонормальним, де $0 < p\leq 1$, якщо
$ |\widetilde{T}|^p\geq |T|^p\geq |{\widetilde{T}}^{*}|^p$, де $\widetilde{T}$ -- перетворення
Алутге. В цій роботі досліджені основні властивості таких
операторів. Показано також, що якщо $P$ -- ідемпотент Рісса, який
відповідає ненульовій ізольованій точці $\lambda$ спектру $T$, то
оператор $P$ самоспряжений. Доведено, що ці оператори мають
скінченний підйом і що для ненульових $p$-$w$-гіпонормальних $T$ і
$S$, $T\otimes S$ є $p$-$w$-гіпонормальним тоді й тільки тоді, коли $T$
і $S$ $p$-$w$-гіпонормальні. Крім того, доведено, що властивість
$(gt)$ має місце для $f(T)$, де $f\in H_{nc}(\sigma(T)).$
Key words: Furuta inequality, Löwner-Heinz inequality, $p$-$w$-hyponormal, Tensor product; Weyl's Type theorems, property $(gt)$.
Full Text
