On Reeb graphs induced from smooth functions on closed or open manifolds
Abstract
For a smooth function of a suitable class, the space of all
connected components of preimages is the graph and called the
Reeb graph. Reeb graphs are fundamental tools in studying
algebraic topological properties and differential topological ones
for Morse functions and more general functions which are not so
wild. They are strong tools not only in geometry, but also in
applications of mathematics such as visualizations.
In the present paper, we study whether we can construct a smooth
function with good geometric properties inducing a given graph as
the Reeb graph and having prescribed preimages. This paper
concentrates on smooth functions on surfaces and manifolds which may
be non-closed with no boundary as a pioneering case and give answers
with new ideas. This problem was essentially launched by Sharko in
2000s and various answers on functions on closed manifolds have been
given by others and the author.
Для неперервної функції певного класу простір усіх зв'язних
компонент в повному прообразі є графом, який називається графом
Реба. Графи Реба є фундаментальний засіб для вивчення алгебраїчних
топологічних властивостей та диференціальних топологічних
властивостей функцій Морса та функцій, що не є дуже дикими. Вони
також встановлюють зручний інструмент в геометрії, а також
для застосувань математики в візуалізації.
В статті вивчається можливість побудови гладкої функції, яка має
гарні геометричні властивості, включаючи заданий граф в якості її
графу Реба, та має заданий повний прообраз. Особлива увага
приділяється гладким функціям на поверхнях та многовидах, які можуть
бути незамкненими і не мати границі. Ця проблема була суттєво
започаткована Щарко в 2000-х, а певні відповіді для функцій на
замкнених многовидах були отримані автором та іншими дослідниками.
Key words: Singularities of differentiable maps, differential topology, Reeb graphs, Reeb spaces.
Full Text
