Y. Bouhafsi
Search this author in Google Scholar
A Remark on the Range Closures of an Elementary Operator
Youssef Bouhafsi, Mohamed Ech-chad, Mohamed Missouri
MFAT 27 (2021), no. 2, 151-156
151-156
Let L(H) denote the algebra of operators on a complex infinite
dimensional Hilbert space H into itself. For A,B∈L(H), the
elementary operator τA,B∈L(L(H)) is defined by
τA,B(X)=AXB−X. An operator A∈L(H) is said to be
generalized quasi-adjoint if ATA=T implies A∗TA∗=T
for every T∈C1(H) (trace class operators). In this paper, we
give an extension of generalized quasi-adjoint operators. We
consider the class of pairs of operators A,B∈L(H) such that
¯R(τA,B)W∗=¯R(τA∗,B∗)W∗,
where ¯R(τA,B)W∗ denotes the ultra-weak
closure of the range R(τA,B) of τA,B. Such pairs of
operators are called generalized quasi-adjoint. We establish some
basic properties of those pairs of operators.
Нехай L(H) -- алгебра операторів у комплексному
нескінченновимірному гільбертовому просторі H. Для A,B∈L(H),
елементарний оператор τA,B∈L(L(H)) визначається як
τA,B(X)=AXB−X. Кажуть, що оператор A∈L(H) є
узагальненим квазіспряженим, якщо з ATA=T випливає, що
A∗TA∗=T для кожного T∈C1(H) (клас ядерних
операторів). У статті дається розширення класу узагальнених
квазіспряжених операторів. Розглядається клас пар опера\-торів
A,B∈L(H), таких, що
¯R(τA,B)W∗=¯R(τA∗,B∗)W∗,
де через ¯R(τA,B)W∗ позначене
ультраслабке замикання області значень R(τA,B) of
τA,B. Такі пари операторів звуться узагальненими
квазіспряженими. Встановлені основні власти\-вості таких пар
операторів.