Methods of Functional Analysis
and Topology

In this work, we solve the system of Laguerre-Freud equations for the recurrence coefficients $\zeta_n$, $\theta_{n+1} , n \geq 0,$ of the $D_{w}$-Laguerre-Hahn orthogonal sequences of polynomials of class one in the case when $\zeta_{0}=-\alpha_{0}$, $\zeta_{n+1}=\alpha_{n}-\alpha_{n+1}$ and $\theta_{n+1}=-\alpha_{n}^{2}$ with $\alpha_{n}\neq0\;n\geq0$, where $D_w$ is the divided difference operator. There are essentially six canonical cases.

В роботі розв'язано систему рівнянь Лагерра-Фрейда для рекурентних коефіцієнтів $ \zeta_n$, $ \theta_{n+1}, n \geq0, $ послідовностей ортогональних $ D_{w} $-многочленів Лагерра-Хана першого роду у випадку, коли $ \zeta_{0}= - \alpha_{0}$, $ \zeta_{n+1}= \alpha_{n}- \alpha_{n+1} $ і $ \theta_{n+1}=- \alpha_{n}^{2} $ з $ \alpha_{n} \neq0$, $n \geq0$, де $ D_w $ є оператором розділеної різниці. Встановлено шість канонічних випадків.

The paper is devoted to studying the dynamics of affine composition operators on the Fréchet algebras of symmetric analytic functions on $\ell_p.$ We introduced a class of affine composition operators preserving the symmetry of functions and found necessary and sufficient conditions of hypercyclicity of such operators. Some applications for dynamics of composition operators on the space of entire functions of several complex variables, $H(\mathbb{C}^n)$ are proposed. In particular, we found some conditions of hypercyclicity for a class of polynomial composition operators on $H(\mathbb{C}^n).$

Стаття присвячена вивченню динаміки афінних композиційних операторів на алгебрах Фреше симетричних аналітичних функцій на $ \ell_p$. Ведено клас афінних композиційних операторів, що зберігають симетрію функцій, і знайдено необхідні та достатні умови гіперциклічності таких операторів. Пропонуються деякі застосувыння динаміки композиційних операторів в просторі $H(\mathbb {C} ^n)$ цілих функцій декількох комплексних змінних. Зокрема, знайжено деякі умови гіперциклічності для класу операторів поліноміальної композиції на $H (\mathbb {C} ^n)$.

Let $n\geq 2.$ A continuous $n$-linear mapping $T$ from a Banach space $E$ into a Banach space $F$ is called norm-peak if there is unique $(x_1, \ldots, x_n)\in E^n$ such that $\|x_1\|=\cdots=\|x_n\|=1$ and $T$ attains its norm only at $(\pm x_1, \ldots, \pm x_n).$

Let $\mathbb{R}^n_{\|\cdot\|}=\mathbb{R}^n$ with a norm satisfying that $\{W_1, \ldots, W_n\}$ forms a basis and the set of all extreme points of $B_{\mathbb{R}^n_{\|\cdot\|}}$ is $\{\pm W_1, \ldots, \pm W_n\}$.

In this note, we characterize all norm-peak multilinear mapping from $\mathbb{R}^n_{\|\cdot\|}$ into $F$.

Нехай $N\geq 2.$ Неперервне $ n $-лінійне відображення $T $ з банахового простору $E $ в банахів простор $ F $ називається відобрженням з піковим значунням норми, якщо існує єдиний $(x_1, \ldots, x_n)$ в $E ^ n$ такий, що $\| x_1\| =\cdots=\| x_n\| =1 $ і $ T $ досягає своєї норми тільки при $(\pm x_1, \ldots, \pm x_n).$

Нехай $ \mathbb {R} ^ n_ {|/\cdot|/} = \mathbb {R} ^ n$ із нормою, що задовольняє тому, що $\{W_1, \ldots, W_n\} $ утворює базис, і $\{\pm W_1, \ldots, \pm w_n\}$ --- множина всіх екстремальних точок множини $B_ {\mathbb{R}^n_{\|\cdot\|}}$.

В цій статті описуються всі полілінійні відображення з піковими значеннями норми з $ \mathbb {R} ^ n_ {\|\cdot\|}$ в $F$.

In this paper we investigate a class of $(p(x), q(x))$-Laplacian systems for existence of global classical solutions. We give conditions under which the considered equations have at least one, at least two and at least three classical solutions. To prove our main results we propose a new approach based on the use of fixed points for the sum of two operators.

У цій статті ми досліджуємо клас $(p (x), q (x))$ - лапласівських систем на предмет існування глобальних класичних рішень. Ми наводимо умови, при яких розглянуті рівняння мають принаймні одне, принаймні два і принаймні три класичних рішення. Щоб довести наші основні результати, ми пропонуємо новий підхід, заснований на використанні нерухомих точок для суми двох операторів.