Methods of Functional Analysis
and Topology

For $n\geq 2$ and a Banach space $E$ we let $$ \Pi(E)=\{[x^*, x_1, \ldots, x_n]: x^{*}(x_j)=\|x^{*}\|=\|x_j\|=1~\mbox{for}~{j=1, \ldots, n}~\}, $$ ${\mathcal L}(^n E:E)$ denote the space of all continuous $n$-linear mappings from $E$ to itself. An element $[x^*, x_1, \ldots, x_n]\in \Pi(E)$ is called a numerical radius point of $T\in {\mathcal L}(^n E:E)$ if $$ |x^{*}(T(x_1, \ldots, x_n))|=v(T), $$ where $v(T)$ is the numerical radius of $T$. By $\rm{Nradius}({T})$ we denote the set of all numerical radius points of $T$. Let $0\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}$ and $\ell^2_{{({\infty}, \theta)}}=\mathbb{R}^2$ with the rotated supremum norm $$ \|(x, y)\|_{{({\infty}, \theta)}}=\max\Big\{|x \cos \theta+y \sin \theta|,~ |x \sin \theta-y \cos \theta|\Big\}. $$ In this paper, we show that the numerical radius of $T\in{\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}})$ equals to its norm $\|T\|.$ Using this, we classify $\rm{Nradius}({T})$ for every $T\in {\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}})$ in connection with the norming points of the bilinear mapping associated with $T$. Let $$ \mbox{NA}({\mathcal L}(^n E:E))=\{T\in {\mathcal L}(^n E:E): T~\mbox{is norm attaining} \} $$ and $$ \mbox{NRA}({\mathcal L}(^n E:E))=\{T\in {\mathcal L}(^n E:E): T~\mbox{is numerical radius attaining} \}. $$ We also show that $ \mbox{NA}({\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}))=\mbox{NRA}({\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}})),$ which generalizes some results in [12].

Для $n\geq 2$ і банахова простору $E$ покладемо $$ \Pi(E)=\{[x^*, x_1, \ldots, x_n]: x^{*}(x_j)=\|x^{*}\|=\|x_j\|=1~\mbox{для}~{j=1, \ldots, n}~\}, $$ де ${\mathcal L}(^n E:E)$ позначає простір усіх неперервних $n$-лінійних відображень $E$ на себе. Елемент $[x^*, x_1, \ldots, x_n]\in \Pi(E)$ називається точкою чисельного радіусу $T\in {\mathcal L}(^n E:E)$, якщо $$ |x^{*}(T(x_1, \ldots, x_n))|=v(T), $$ де $v(T)$ — чисельний радіус $T$. За $\rm{Nradius}({T})$ позначимо множину всіх точок чисельного радіусу $T$. Нехай $0\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}$ і $\ell^2_{{({\infty}, \theta)}}=\mathbb{R}^2$ із поверненою супремум нормою $$ \|(x, y)\|_{{({\infty}, \theta)}}=\max\Big\{|x \cos \theta+y \sin \theta|,~ |x \sin \theta-y \cos \theta|\Big\}. $$ Показано, що чисельний радіус $T\in{\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}})$ дорівнює своїй нормі $\|T\|.$ Використовуючи це, ми класифікуємо $\rm{Nradius}({T})$ для кожного $T\in {\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}})$, пов'язуючи з нормуючими точками білінійного відображення, відповідного $T$. Нехай $$ \mbox{NA}({\mathcal L}(^n E:E))=\{T\in {\mathcal L}(^n E:E): T~\mbox{досягає норми} \} $$ і $$ \mbox{NRA}({\mathcal L}(^n E:E))=\{T\in {\mathcal L}(^n E:E): T~\mbox{досягає чисельного радіусу} \} . $$ Ми також показуємо що $ \mbox{NA}({\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}))=\mbox{NRA}({\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}})),$ що узагальнює деякі результати роботи [12].

An orthogonal sequence with respect to a regular linear functional $w$ is said to be semiclassical if there exist a monic polynomial $\Phi$ and a polynomial $\Psi$ with $\deg(\Psi)\geq1$, such that $(\Phi w)^{'}+\Psi w=0$. Recently, all semiclassical monic orthogonal polynomial sequences of class one satisfying a three term recurrence relation with $\beta_{0}=-\alpha_{0}$, $\beta_{n+1}=\alpha_{n}-\alpha_{n+1}$ and $\gamma_{n+1}=-\alpha_{n}^{2}$ with $ \alpha_{n}\neq0\,,\;n\geq0,$ have been determined [17].

In this paper, we point sequences of the above family such that their corresponding Stieltjes function $S(w)(z)=-\displaystyle\sum_{n\geq0}\frac{(w)_{n}}{z^{n+1}}$ satisfies a quadratic equation $B(z)S^{2}(w)(z)+C(z)S(w)(z)+D(z)=0$, where $B$, $C$, $D$ are polynomials.

Ортогональна послідовність відносно регулярного лінійного функціонала $w$ називається напівкласичною, якщо існує моном $\Phi$ і поліном $\Psi$, $\deg(\Psi)\geq1$, такі, що $(\Phi w)^{'}+\Psi w=0$. Останнім часом всі напівкласичні монічні ортогональні поліноміальні послідовності першого класу, що задовольняють тричленному рекурентному відношенню, коли $\beta_{0}=-\alpha_{0}$, $\beta_{n+1}=\alpha_{n}-\alpha_{n+1}$ і $\gamma_{n+1}=-\alpha_{n}^{2}$ з $ \alpha_{n}\neq0$, $n\geq0,$ були визначені [17].

В статті вказуються послідовності вищевказаної сім'ї такі, що їх відповідна функція Стілтьєса $S(w)(z)=-\displaystyle\sum_{n\geq0}\frac{(w)_{n}}{z^{n+1}}$ задовольняє квадратичному рівнянню $B(z)S^{2}(w)(z)+C(z)S(w)(z)+D(z)=0$, де $B$, $C$, $D$ -- поліноми.

In this paper, the sine-Gordon expansion method is implemented to obtain new explicit solutions for the nonlinear Wu-Zhang system with a time-fractional conformable derivative. The solutions constructed are plotted with the Maple software and expressed by three types of functions: hyperbolic function solution, exponential function solution and trigonometric function solution. The nonlinear fractional partial differential equation is converted into an ordinary differential equation of integer order. This method is used to solve a fractional Wu-Zhang system. These solutions might be important and highly useful in various scientific fields. It is shown that this method is very efficient for constructing exact solutions of nonlinear fractional partial differential equations.

Реалізовано метод розширення синус-Гордона для отримання нових явних розв'язків для нелінійної системи Ву-Жанга із дробове-конформною похідною за часом. Отримані розв'язки будуються за допомогою програмного забезпечення Maple і виражаються трьома типами функцій: гіперболічними функціями, показниковими функціями та тригонометричними функціями. Нелінійне диференціальне рівняння з дробовими похідними перетворюється в звичайне диференціальне рівняння з цілим порядком. Цей метод використовується для розв’язку системи У-Чжан з дробовими похідними. Рішення можуть бути важливими і дуже корисними у різних галузях науки. Показано, що це метод є дуже ефективним для побудови точних розв'язків нелінійних рівнянь з дробовими похідними.