Methods of Functional Analysis
and Topology

In this work, we solve the system of Laguerre-Freud equations for the recurrence coefficients $\zeta_n$, $\theta_{n+1} , n \geq 0,$ of the $D_{w}$-Laguerre-Hahn orthogonal sequences of polynomials of class one in the case when $\zeta_{0}=-\alpha_{0}$, $\zeta_{n+1}=\alpha_{n}-\alpha_{n+1}$ and $\theta_{n+1}=-\alpha_{n}^{2}$ with $\alpha_{n}\neq0\;n\geq0$, where $D_w$ is the divided difference operator. There are essentially six canonical cases.

В роботі розв'язано систему рівнянь Лагерра-Фрейда для рекурентних коефіцієнтів $ \zeta_n$, $ \theta_{n+1}, n \geq0, $ послідовностей ортогональних $ D_{w} $-многочленів Лагерра-Хана першого роду у випадку, коли $ \zeta_{0}= - \alpha_{0}$, $ \zeta_{n+1}= \alpha_{n}- \alpha_{n+1} $ і $ \theta_{n+1}=- \alpha_{n}^{2} $ з $ \alpha_{n} \neq0$, $n \geq0$, де $ D_w $ є оператором розділеної різниці. Встановлено шість канонічних випадків.

In this paper we investigate a class of $(p(x), q(x))$-Laplacian systems for existence of global classical solutions. We give conditions under which the considered equations have at least one, at least two and at least three classical solutions. To prove our main results we propose a new approach based on the use of fixed points for the sum of two operators.

У цій статті ми досліджуємо клас $(p (x), q (x))$ - лапласівських систем на предмет існування глобальних класичних рішень. Ми наводимо умови, при яких розглянуті рівняння мають принаймні одне, принаймні два і принаймні три класичних рішення. Щоб довести наші основні результати, ми пропонуємо новий підхід, заснований на використанні нерухомих точок для суми двох операторів.

The paper is devoted to studying the dynamics of affine composition operators on the Fréchet algebras of symmetric analytic functions on $\ell_p.$ We introduced a class of affine composition operators preserving the symmetry of functions and found necessary and sufficient conditions of hypercyclicity of such operators. Some applications for dynamics of composition operators on the space of entire functions of several complex variables, $H(\mathbb{C}^n)$ are proposed. In particular, we found some conditions of hypercyclicity for a class of polynomial composition operators on $H(\mathbb{C}^n).$

Стаття присвячена вивченню динаміки афінних композиційних операторів на алгебрах Фреше симетричних аналітичних функцій на $ \ell_p$. Ведено клас афінних композиційних операторів, що зберігають симетрію функцій, і знайдено необхідні та достатні умови гіперциклічності таких операторів. Пропонуються деякі застосувыння динаміки композиційних операторів в просторі $H(\mathbb {C} ^n)$ цілих функцій декількох комплексних змінних. Зокрема, знайжено деякі умови гіперциклічності для класу операторів поліноміальної композиції на $H (\mathbb {C} ^n)$.

In this paper we extend and study the notions of codisk-cyclicity and codisk transitivity, studied in [5, 16, 17, 21, 22] for linear operators, to linear relations (multivalued linear operators) on a complex Hilbert space $H$. Among other things, we show that if a closed and bounded linear relation $T$ is codisk-cyclic then its range is dense in $H$ and $T^p$ is also codisk-cyclic for every $p\in\mathbb{N}$. We also show that the codisk-cyclicity is equivalent to codisk-transtivity. A codisk-cyclicity criterion is given. Some examples that illustrate our results are presented.

У цій статті ми розширюємо та вивчаємо поняття кодиск-циклічності та кодиск-транзитивності, що досліджувались в [5, 16, 17, 21, 22] для лінійних операторів, до лінійних відношень (багатозначних лінійних операторів) на комплексному гільбертовому просторі $H$. Серед іншого, ми показуємо, що якщо замкнене та обмежене лінійне відношення $T$ є кодиск-циклічним, то його область значень щільна в $H$, а $T^p$ також є кодиск-циклічним для кожного $p\in\mathbb{N}$. Ми також показуємо, що кодиск-циклічність еквівалентна кодиск-транзитивності. Наведено критерій кодиск-циклічності. Надано деякі приклади, що ілюструють наші результати.