Geometric Regularity Results on $B_{\alpha,\beta}^{k}$-Manifolds, I: Affine Connections
Abstract
In this paper we consider existence and multiplicity results
concerning affine connections on $C^{k}$-manifolds $M$ whose
coefficients are as regular as one needs, following the regularity
theory introduced in [10]. We show that if $M$ admits a
$B_{\alpha,\beta}^{k}$-structure, then the existence of such regular
connections can be established in terms of properties of the
structural presheaf $B$. In other words, we propose a solution to
the existence problem in this setting. With regard to the
multiplicity problem, we show that the space of regular affine
connections is an affine space of the space of regular
$\operatorname{End}(TM)$-valued 1-forms, and that if two regular
connections are locally additively different, then they are actually
locally different. The existence of a topology in which the space of
regular connections is a nonempty open dense subset of the space of
all regular $\operatorname{End}(TM)$-valued 1-forms is suggested.
У цій роботі розглядаються результати існування та
кратності для афінних зв’язностей на $C^{k}$-многовидах $M$,
коефіцієнти яких настільки регулярні, наскільки це необхідно,
відповідно до теорії регулярності, введеної в [10]. Показано,
що якщо $M$ допускає $B_{\alpha,\beta}^{k}$-структуру, то існування
таких регулярних зв’язностей можна встановити з точки зору
властивостей структурного передпучка $B$. Іншими словами, ми
пропонуємо розв'язання проблеми існування в цій постановці. Стосовно
проблеми кратності, ми показуємо, що простір регулярних зв’язностей
є афінним простором простору регулярних 1-форм зі значеннями в
$\operatorname{End}(TM)$, і що якщо дві регулярні зв’язності
локально адитивно різні, то вони насправді є локально
різні. Запропоновано топологію, в якій простір регулярних
зв’язностей є непорожньою відкритою щільною підмножиною простору
всіх регулярних $\operatorname{End}(TM)$-значних 1-форм.
Key words: Affine Connections, Regularity Structures, Presheaves of Fréchet Spaces, Existence and Multiplicity.
Full Text
