Methods of Functional Analysis
and Topology

This paper is an overview of various results on Birkhoff-James orthogonality of operators in Hilbert space and Banach spaces. We mainly focus on Birkhoff orthogonality of linear(bounded and compact) operators in terms of matrices, projection angles, Hilbert $C^{*}$-modules as well as on Banach modules. The article concludes with some open problems regarding possible correlation between Birkhoff-James orthogonality and Carlsson orthogonality, particularly in the case of Pythagorean orthogonality.

Дано огляд різноманітних результатів щодо ортогональності в сенсі Біркгофа-Джеймса операторів у гільбертових і банахових просторах. Переважно розгля\-дається ортогональність за Біркгофом лінійних (обмежених і компактних) операторів у термінах матриць, кутів, гільбертових С*-модулів, а також банахових модулів. Наведені деякі відкриті питання стосовно співвідношень ортогональністю Біркгофа-Джеймса та ортогональністю Карлссона, зокрема для випадку піфагорової ортогональності.

In the late 1950's and early 1960's Kurzweil and Henstock presented the concept of Gauge integral. Following their results, Savas and Patterson extended this concept to summability theory by considering $\,f(\psi)$ real valued function which is integrable in the Gauge sense on $(1,\infty) $. The goal of this paper includes the extension of these notion to statistical convergence. This will be accomplished by presenting the definition of statistically convergent to $L$ via cardinality in Lebesgue sense. Natural implications and variations are also presented.

В кінці 1950-х та на початку 1960-х років Курцвайль і Хенсток сформулювали концепцію калібрувального інтеграла. Савас і Паттерсон поширили це на теорію підсумовування, розглянувши дійсні функції $\,f(\psi) $, інтегровні в калібрувальному сенсі на $(1, \infty)$. Метою цієї роботи є поширення цього поняття на випадок статистичної збіжності. Для цього дається визначення статистичної збіжності за мірою Лебега. Обговорюються наслідки та можливі варіанти цього підходу.

We study families $\Phi$ of coverings which are faithful for the Hausdorff dimension calculation on a given set $E$ (i. e., special relatively narrow families of coverings leading to the classical Hausdorff dimension of an arbitrary subset of $E$) and which are natural generalizations of comparable net-coverings. They are shown to be very useful for the determination or estimation of the Hausdorff dimension of sets and probability measures.

We give general necessary and sufficient conditions for a covering family to be faithful and new techniques for proving faithfulness/non-faithfulness for the family of cylinders generated by expansions of real numbers. Motivated by applications in the multifractal analysis of infinite Bernoulli convolutions, we study in details the Cantor series expansion and prove necessary and sufficient conditions for the corresponding net-coverings to be faithful. To the best of our knowledge this is the first known sharp condition of the faithfulness for a class of covering families containing both faithful and non-faithful ones.

Applying our results, we characterize fine fractal properties of probability measures with independent digits of the Cantor series expansion and show that a class of faithful net-coverings essentially wider that the class of comparable ones. We construct, in particular, rather simple examples of faithful families $\mathcal{A}$ of net-coverings which are "extremely non-comparable" to the Hausdorff measure.

Ми досліджуємо сім’ї $\Phi$ покриттів, які є довірчими для обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича на певній множині $E$ (тобто, спеціальні відносно вузькі сім’ї покриттів, яких достатньо для коректного обчислення класичної розмірності Хаусдорфа-Безиковича довільної підмножини множини $E$) і які є природним узагальненням порівнянних мережевих покриттів. В роботі показано, що такі сім’ї є дуже корисними для обчислення чи оцінки розмірності Хаусдорфа-Бези\-ковича множин та ймовірнісних мір.

Нами отримано загальні необхідні та достатні умови довірчості для сімей покриттів та запропоновано нову техніку доведення довірчості/недовірчості для сімей циліндрів, породжених різними розкладами дійсних чисел. Маючи додатко\-ву мотивацію в мультифрактальному аналізі нескінченних згорток Бернуллі, ми детально дослідили розклади Кантора та довели необхідні та достатні умови довірчості відповідних сімей покриттів мережевими циліндрами. Наскільки нам відомо, ці результати є першими критеріями довірчості для класу сімей покриттів, що містить як довірчі, так і недовірчі сім’ї.

Застосовуючи отримані результати, ми дослідили тонкі фрактальні властивості ймовірнісних мір з незалежними символами розкладів Кантора і показали, що клас довірчих мережевих покриттів суттєво ширше за клас порівнянних. Ми побудували, зокрема, досить прості приклади довірчих сімей $\mathcal{A}$ мережевих покриттів, які є "екстремально непорівнянними" відносно міри Хаусдорфа.

We introduce an infinite-dimensional affine group and construct its irreducible unitary representation. Our approach follows the one used by Vershik, Gelfand and Graev for the diffeomorphism group, but with modifications made necessary by the fact that the group does not act on the phase space. However it is possible to define its action on some classes of functions.

Вводиться нескінченновимірна аффінна група і будується її незвідне унітарне представлення. Наш підхід наслідує метод Вершика-Гельфанда-Граєва для групи дифеоморфізмів, з необхідними модифікаціями, пов’язаними з тим, що група не діє на фазовому просторі, але можна визначити її дію на деяких класах функцій.