Methods of Functional Analysis
and Topology

Let $L(H)$ denote the algebra of operators on a complex infinite dimensional Hilbert space $H$ into itself. For $A,B\in L(H)$, the elementary operator $\tau_{A,B}\in L(L(H))$ is defined by $\tau_{A,B}(X)=AXB-X$. An operator $A\in L(H)$ is said to be generalized quasi-adjoint if $ATA=T$ implies $A^{\ast}TA^{\ast}=T$ for every $T\in C_{1}(H)$ (trace class operators). In this paper, we give an extension of generalized quasi-adjoint operators. We consider the class of pairs of operators $A, B\in L(H)$ such that $\overline{R(\tau_{A,B})}^{W^{\ast}}=\overline{R(\tau_{A^{\ast},B^{\ast}})}^{W^{\ast}}$, where $\overline{R(\tau_{A,B})}^{W^{\ast}}$ denotes the ultra-weak closure of the range $R(\tau_{A,B})$ of $\tau_{A,B}$. Such pairs of operators are called generalized quasi-adjoint. We establish some basic properties of those pairs of operators.

Нехай $L(H)$ -- алгебра операторів у комплексному нескінченновимірному гільбертовому просторі $H$. Для $A,B\in L(H)$, елементарний оператор $\tau_{A,B}\in L(L(H))$ визначається як $\tau_{A,B}(X)=AXB-X$. Кажуть, що оператор $A\in L(H)$ є узагальненим квазіспряженим, якщо з $ATA=T$ випливає, що $A^{\ast}TA^{\ast}=T$ для кожного $T\in C_{1}(H)$ (клас ядерних операторів). У статті дається розширення класу узагальнених квазіспряжених операторів. Розглядається клас пар опера\-торів $A, B\in L(H)$, таких, що $\overline{R(\tau_{A,B})}^{W^{\ast}}=\overline{R(\tau_{A^{\ast},B^{\ast}})}^{W^{\ast}}$, де через $\overline{R(\tau_{A,B})}^{W^{\ast}}$ позначене ультраслабке замикання області значень $R(\tau_{A,B})$ of $\tau_{A,B}$. Такі пари операторів звуться узагальненими квазіспряженими. Встановлені основні власти\-вості таких пар операторів.

This article is devoted to studying some new numerical radius inequalities for Hilbert space operators. Our analysis enables us to improve an earlier bound for numerical radius due to Kittaneh. It is shown, among other, that if $A\in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, then \[ \frac{1}{8}\left( {{\left\| A+{{A}^{*}} \right\|}^{2}}+{{\left\| A-{{A}^{*}} \right\|}^{2}} \right)\le \omega ^{2}\left( A \right) \le \left\| \frac{{{\left| A \right|}^{2}}+{{\left| {{A}^{*}} \right|}^{2}}}{2} \right\|-m\left( {{\left( \frac{\left| A \right|-\left| {{A}^{*}} \right|}{2} \right)}^{2}} \right ). \]

Отримані нові нерівності для числового радіуса операторів у гільбертовім просторі. Зокрема, покращено попередній результат Кіттане. Показано, що для $A\in B(H)$, \[ \frac{1}{8}\left( {{\left\| A+{{A}^{*}} \right\|}^{2}}+{{\left\| A-{{A}^{*}} \right\|}^{2}} \right)\le \omega ^{2}\left( A \right) \le \left\| \frac{{{\left| A \right|}^{2}}+{{\left| {{A}^{*}} \right|}^{2}}}{2} \right\|-m\left( {{\left( \frac{\left| A \right|-\left| {{A}^{*}} \right|}{2} \right)}^{2}} \right ). \]

We study the existence of continuous solutions of a nonlinear functional integral inclusion of Hammerstein-Stieltjes type. The continuous dependence of the solutions on the set of selections and on some other functions will be proved. Nonlinear set-valued functional integral equations of Chandrasekhar type and nonlinear set-valued fractional-orders functional integral equations will be given as applications. An initial value problem of fractional-orders set-valued integro-differential equation will be considered.

Досліджується існування неперервних розв’язків нелінійного функціонального інтегрального включення типу Гамерштейна-Стілтьєса. Доведена неперервна залежність розв’язку від множини виборок і деяких інших функцій. Як застосування, розглядаються нелінійні багатозначні функціональні інтегральні рівняння типу Чандрасекара і нелінійні багатозначні функціональні інтегральні рівняння дробових порядків, а також задачі з початковими умовами для останнього класу рівнянь.

In this corrigendum, we offer a correction to the paper {\it On fixed point results for a class of generalized mean nonexpansive mappings}, Methods Funct. Anal. Topology, 26 (2020), no. 4, 356-372.