Methods of Functional Analysis
and Topology

In this paper, we characterize Carleson measure and vanishing Carleson measure on Bergman spaces with admissible weights in terms of t-Berezin transform and averaging function as key tools. As an application of the main results of this paper, we characterize power bounded and power compact weighted composition operators on Bergman spaces with admissible weights.

Надано характеризацію міри Карлесона і міри Карлесона, що прямує до нуля, на просторах Бергмана з допустимими вагами в термінах $t$-перетворення Березіна та функцією усереднення в якості ключових інструментів. Як застосування основних результатів цієї роботи надано характеризацію степенево обмежених та степенево компактних зважених операторів композиції на просторах Бергмана з допустимими вагами.

We consider a three-particle discrete Schrödinger operator $H_{\mu,\gamma}(\mathbf{K}),$ $\mathbf{K}\in\mathbb{T}^3$, associated to a system of three particles (two fermions and one another particle) interacting through zero range pairwise potential $\mu>0$ on the three-dimensional lattice $\mathbb{Z}^3.$ It is proved that the operator $H_{\mu,\gamma}(\mathbf {K}),$ $\|\mathbf{K}\|<\delta,$ for $0<\gamma<\gamma_0$ ($\gamma_0\approx 4,7655$) has no eigenvalues and for $\gamma>\gamma_0$ has exactly three eigenvalues lying below the essential spectrum for sufficiently large $\mu$ and small $\delta$.

Ми розглядаємо тричастинковий дискретний оператор Шр\"{о}дінгера $H_{\mu,\gamma}(\mathbf{K}),$ $\mathbf{K}\in\mathbb{T}^3$, який асоціюється з системою з трьох частинок (двох ферміонів і одна інша частинка), які попарно взаємодіють через потенціал нульового радіусу $\mu>0$ на тривимірній решітці $\mathbb{Z}^3.$ Доведено, що оператор $H_{\mu,\gamma}(\mathbf {K}),$ $\|\mathbf{K}\|<\delta,$ для $0<\gamma<\gamma_0$ ($\gamma_0\approx 4,7655$) не має власних значень, а для $\gamma>\gamma_0$ має рівно три власні значення, що лежать нижче суттєвого спектру для достатньо великих $\mu$ і малих $\delta$.

In this paper we investigate a class of initial boundary value problems for a class of nonlinear dispersive equations of odd orders. We prove existence of at least one solution and existence of at least one nonnegative solution. Our method is based on a use of a fixed point theory for the sum of two operators.

У статті досліджено клас початкових граничних задач для класу нелінійних дисперсійних рівняння непарних порядків. Доведено існування принаймні одного розв’язоку і існування хоча б одного невід’ємного розв'язку. Наш метод базується на використанні теорії про нерухомі точки для суми двох операторів.

In this paper we study a class of Lorentz invariant nonlinear field equations in several space dimensions. The main purpose is to obtain soliton-like solutions with twice $(r,p)$-Laplacian. The fields are characterized by a topological invariant, which we call the charge. We prove the existence of a static solution which minimizes the energy among the configurations with nontrivial charge.

У статті вивчається клас нелінійних рівнянь, інваріантних відносно лоренцевих перетворень, для поля з декількома просторовими зміними. Основною метою є отримання солітоноподібних розв'язків з подвійним $(r,p)$-лапласіаном. Поля характеризуються топологічним інваріантом, який ми називаємо зарядом. Доведено існування статичного розв'язку, який мінімізує енергію в конфігураціях з нетривіальним зарядом.