Methods of Functional Analysis
and Topology

We analyze the notion of a stochastic cosurface and show the following: the obstructions to the construction of non-abelian stochastic cosurfaces previously highlighted can be overcome by an ordering choice; the presence of an underlying manifold is not mandatory and stochastic cosurfaces can be defined in more general CW-complexes. We also describe a dimension extension procedure, in which any $d-$stochastic cosurface can be extended to a $(d+k)$-stochastic cosurface if the underlying CW-complex has $(d+k)$-faces.

We finish with a link of stochastic cosurfaces with topological quantum field theories and with an analog of deformation algebra indexed by a non-linear set of formal variables.

Аналізується поняття стохастичної коповерхні та доводиться наступне: пере\-шкоди для побудови неабелевих стохастичниз коповерхонь, про які йшлось раніше, можуть бути подолані за разунок вибору порядку; наявність базового многовиду не є обов'язковим і стохастичним коповерхні можуть бути визначені в більш загальних CW-комплексах. Також описано процедуру розширення розмірності, де будь-яку $d-$стохастичну поверхню можна продовжити до $(d+k)$-стохастичній поверхні, якщо базовий CW-комплекс має $(d+k)$-граней.

Також розглядається зв'язок між стохастичними коповерхонями та топологіч\-ною квантовою теорією поля і з аналогом деформованою алгебра, що індексована нелінійним набором формальних змінних.

In this paper we study a class of Lorentz invariant nonlinear field equations in several space dimensions. The main purpose is to obtain soliton-like solutions with twice $(r,p)$-Laplacian. The fields are characterized by a topological invariant, which we call the charge. We prove the existence of a static solution which minimizes the energy among the configurations with nontrivial charge.

У статті вивчається клас нелінійних рівнянь, інваріантних відносно лоренцевих перетворень, для поля з декількома просторовими зміними. Основною метою є отримання солітоноподібних розв'язків з подвійним $(r,p)$-лапласіаном. Поля характеризуються топологічним інваріантом, який ми називаємо зарядом. Доведено існування статичного розв'язку, який мінімізує енергію в конфігураціях з нетривіальним зарядом.

We present an exact inner structure of the block Jacobi type matrix related to the complex moment problem with the corresponding measure supported on an arbitrary second order curve in the complex plane. For completeness of the study we also present a solution of the direct and inverse spectral problems for such matrices. In this the way, we give a necessary and sufficient condition under which a matrix in the CMV-form generates a (pre)normal operator, namely, not obligatory a unitary one.

Надано точну внутрішню структуру блочної якоюієвої матриці, яка пов'язана з комплексною проблемою моментів і мірою, що міє носій на довільній кривій другого порядку в комплексній площині. Для повноти дослідження подаємо також розв'язок прямої та оберненої спектральних задачі для таких матриць. Ми також даємо необхідну і достатню умову зв якої CMV-матриця породжує (пре)нормальний оператор, а саме не обов'язково унітарний.

In this paper we investigate a class of initial boundary value problems for a class of nonlinear dispersive equations of odd orders. We prove existence of at least one solution and existence of at least one nonnegative solution. Our method is based on a use of a fixed point theory for the sum of two operators.

У статті досліджено клас початкових граничних задач для класу нелінійних дисперсійних рівняння непарних порядків. Доведено існування принаймні одного розв’язоку і існування хоча б одного невід’ємного розв'язку. Наш метод базується на використанні теорії про нерухомі точки для суми двох операторів.