Methods of Functional Analysis
and Topology

Let $\mathcal{H}$ be a separable Hilbert space, and $A$ be a linear operator on $\mathcal{H}$ with a Hilbert-Schmidt resolvent and a bounded imaginary Hermitian component. Assuming that the spectrum of $A$ lies in the open left half-plane we suggest the conditions that provide the location of the spectrum of a bounded perturbation of $A$ in the open left half-plane.

Нехай $\mathcal{H}$ - сепарабельний гільбертовий простір, а $A$ - лінійний оператор на $\mathcal{H}$ з резольвентою Гільберта-Шмідта та обмеженою уявниою компонентою. Припускаючи, що спектр $A$ лежить у відкритої лівої півплощині, запропоновано пропонуємо умови, які забезпечують розташування спектру обмеженого збурення $A$ в відкритій лівій півплощині.

In this paper, using the theory of harmonic analysis related to the Watson-Fourier transform, we study a linear time invariant filter. Also, we show that this linear time invariant filter can be expressed in the form of Watson Fourier wavelet transform. Finally, the Fredholm integral equation is defined and we give a solution of this integral equation. Next, an application of the linear time invariant filter is given in the theory of the aforesaid integral equation.

У даній роботі, використовуючи пов'язаний з перетворення Уотсона-Фур’є гармонічний аналіз, вивчено лінійний інваріантний за часом фільтр. Показано, що цей лінійний інваріантний за часом фільтр може бути представлений у вигляді вейвлет-перетворення Уотсона Фур’є. Також визначено інтегральне рівняння Фредгольма і наведено розв'язок цього інтегрального рівняння. Надано застосування лінійного інваріантного за часом фільтра до теорії вищезгаданого інтегрального рівняння.

This paper deals with a generalization of orthogonality in terms of bounded linear operators on a Banach space. The goal is to find a relation between orthogonality of images and orthogonality of elements. We prove that if the images of a bounded linear operator are orthogonal in the Pythagorean sense, then the elements are orthogonal in the sense of Birkhoff's definition. In the case of Robert's orthogonality in terms of bounded linear operators under the restriction that any element belongs to the intersection of the norm attainment set of $T_1+\lambda T_2$ and $T_1-\lambda T_2$, if the images are orthogonal, then it implies that the operators are also orthogonal. Furthermore, some results in relation to the Carlsson, isosceles, and approximate Birkhoff-James orthogonality have been obtained.

У цій роботі розглядяється узагальнення ортогональності в термінах обмежених лінійних операторів на банаховому просторі. Метою роботи є знайти співвідноше\-ння між ортогональністю зображень і ортогональністю елементів. Доведено, що якщо образи обмеженого лінійного оператора ортогональні в піфагоровому сенсі, то елементи є ортогональний у сенсі визначення Біркгофа. У випадку ортогональності Роберта в термінах обмежених лінійних операторів із умовою, що будь-який елемент належить до перетину множин де оператори $T_1+\lambda T_2$ і $T_1-\lambda T_2$ досягають норми, з ортогональності образів випливає, що оператори є також ортогональні. Також отримано деякі результати про ортогональність в сенсі Карлссона, рівнобічної ортогональності та наближеної ортогональності в сенсі Біркгофа-Джеймса.

Singular chain spaces for linear relations in linear spaces play a fundamental role in the decomposition of linear relations in finite dimensional spaces. In this paper singular chains and singular chain spaces are discussed in detail for not necessarily finite dimensional linear spaces. This leads to an identity that characterizes a singular chain space in terms of root spaces. The so-called proper eigenvalues of a linear relation play an important role in the finite dimensional case.

Сингулярні ланцюгові простори для лінійних відношень у лінійних просторах грають Фундаментальна роль у розкладанні лінійних відношень в скінчено вимірних просторах. У даній роботі надається детальний розгляд сингулярних ланцюгів і просторів сингулярних ланцюгів для не обов'язково скінченновимірних просторів. З цього отримується тотожність, що характеризує простір сингулярних ланцюгів в термінах кореневих просторів. У скінченновимірному випадкуважливу роль відіграють так звані правильні власні значення.