Vol. 28 (2022), no. 2

Explicitly solvable model for two-dimensional Helmholtz resonator with two close point-like windows is constructed. The model is based on the theory of self-adjoint extensions of symmetric operators. Limiting procedure is studied for the case where the distance between the windows tends to zero. A regularization is suggested.

Побудовано явно розв'язувану модель для двовимірного резонатора Гельмгольца з двома близькими точковими вікнами. Модель базується на теорії самоспряжених розширень симетричних операторів. Вивчено процедуру граничного переходу для випадку, коли відстань між вікнами прямує до нуля, та запропоновано регуляризацію.

We give a characterization of the essential spectrum for $(A,B)$, where $A$ is a closed linear operator and $B$ is a bounded linear operator, by means of Fredholm operators on a Banach space of countable type over $\mathbb{Q}_{p}.$

За допомогою фредгольмових операторів на банаховому просторі зліченого типу над $\mathbb{Q}_{p}$ надано характеристику істотного спектра для $(A,B)$, де $A$ - замкнеґ-ний лінійний оператор, а $B$ - обмежений.

In this paper we give an explicit expression of invariant algebraic curves of a multi-parameter planar polynomial differential systems, then we prove that these systems are integrable and we introduce an explicit expression of a first integral. Moreover, we determine sufficient conditions for these systems to possess two limit cycles: one of them is algebraic and the other one, explicitly given, is shown to be non-algebraic. Concrete examples exhibiting the applicability of our results are introduced.

Надано явний вираз інваріантних алгебраічних кривих багатопараметричної поліноміальної диференціальної системи на площині. Доводено, що ці системи є інтегровні, і наведено явний вираз дляй першого інтеграла. Більш того, отримано достатні умови для того, щоб ці системи мали два граничні цикли: один з яких є алгебраїчний, і доведено, що інший цикл, для якого отримано явний вираз, не є алгебраічний. Надано конкретні приклади, які демонструють можливість застосування отриманих результатів.

In this paper, we determine the moments and an integral representation for the non-symmetric Dunkl-classical form.

Знайдено моменти та інтегральне представлення для несиметричної класичної за Данклом форми.

For a smooth function of a suitable class, the space of all connected components of preimages is the graph and called the Reeb graph. Reeb graphs are fundamental tools in studying algebraic topological properties and differential topological ones for Morse functions and more general functions which are not so wild. They are strong tools not only in geometry, but also in applications of mathematics such as visualizations. In the present paper, we study whether we can construct a smooth function with good geometric properties inducing a given graph as the Reeb graph and having prescribed preimages. This paper concentrates on smooth functions on surfaces and manifolds which may be non-closed with no boundary as a pioneering case and give answers with new ideas. This problem was essentially launched by Sharko in 2000s and various answers on functions on closed manifolds have been given by others and the author.

Для неперервної функції певного класу простір усіх зв'язних компонент в повному прообразі є графом, який називається графом Реба. Графи Реба є фундаментальний засіб для вивчення алгебраїчних топологічних властивостей та диференціальних топологічних властивостей функцій Морса та функцій, що не є дуже дикими. Вони також встановлюють зручний інструмент в геометрії, а також для застосувань математики в візуалізації. В статті вивчається можливість побудови гладкої функції, яка має гарні геометричні властивості, включаючи заданий граф в якості її графу Реба, та має заданий повний прообраз. Особлива увага приділяється гладким функціям на поверхнях та многовидах, які можуть бути незамкненими і не мати границі. Ця проблема була суттєво започаткована Щарко в 2000-х, а певні відповіді для функцій на замкнених многовидах були отримані автором та іншими дослідниками.

In this paper the projectionless real $C^*$-algebras are investigated. Following construction of [4] a real $C^*$-algebra is constructed, which is separable, simple, nuclear, nonunital, and contains no nonzero projections. It is proved that a real $C^*$-algebra is projectionless if and only if the enveloping $C^*$-algebra is projectionless. An example of a projectionless real Banach ${}^*$-algebra with the $C^*$-property is constructed, the complexification of which contains a non-trivial projection.

В роботі досліджено безпроекційні дійсні $C^*$-алгебри. Використовуючи результати [4], побудовано дійсну $C^*$-алгебру, яка є сепарабельною, простою, ядерною, неунітальною, і яка не містить ненульових проекторів. Доведено, що дійсна $C^*$-алгебра є безпроекційною тоді і тільки тоді, коли огортуюча $С^*$-алгебра є безпроекційною. Побудовано приклад безпроекційної дійсної банахової ${}^*$-алгебру із властивістю $C^*$, комплексифікіція якої містить нетривіальний проектор.

A classical result of Norbert Wiener characterises doubly shift-invariant subspaces for square integrable functions on the unit circle with respect to a finite positive Borel measure $\mu$, as being the ranges of the multiplication maps corresponding to the characteristic functions of $\mu$-measurable subsets of the unit circle. An analogue of this result is given for the Besicovitch Hilbert space of `square integrable almost periodic functions'.

Класичний результат Норберта Вінера характеризує подвійно інваріантні підпростори відносно зсувів для квадратично інтегрованих функцій на одиничному коло відносно скінченної додатньої борелівської міри $\mu$, як множину значень операторів множення на характеристичні функції $\mu$-вимірних підмножин одиничного кола. Аналог цього результату наведено для простору Безіковича-Гільберта «квадратично інтегрованих майже періодичних функцій».

In this paper for the first time the shape of the chain recurrent set in a topological space is investigated. Given a compact Hausdorff space $X$ and a continuous flow $\varphi_t$ evolving on $X$ we use intrinsic shape theory tools which combine continuity up to a covering and the corresponding homotopies of first order to formulate a theorem about the shape of members of a Morse decomposition and the shape of the chain recurrent set in topological spaces.

У цій роботі вперше вивчено форма ланцюгової рекурентної множини в топологічному просторі. Для заданого компактного хаусдорфого простору $X$ і неперервного потіка $\varphi_t$, що ружається на $X$, ми використовуємо інструменти теорії внутрішніх форм, які поєднують неперервність до покриття та відповідні гомотопії першого порядку для формулювання теореми про форму членів в розкладі Морса і форму ланцюгової рекурентної множини в топологічному просторі.

In 1989 Ki Sik Ha [6] proved that if $A$ is a generator of an exponentially bounded $C$-semigroup $(S_t)_{t\geq 0}$ in a Banach space and $T_t=C^{-1}S_t$ for all $t\geq0$, then the spectral mapping theorem, $e^{t\sigma(A)}\subset\sigma(T_t)$ and $e^{t\sigma_p(A)}\subset\sigma_p(T_t)\subset e^{t\sigma_p(A)}\cup\{0\}$ for all $t\geq 0$, holds. In the present paper, we extend the results of [6] to Saphar, essentially Saphar, Kato, and essentially Kato spectrum.

У 1989 році Кі Сік Ха [6] довів, що якщо $A$ є генератором експоненціально обмеженої $C$-напівгрупи $(S_t)_{t\geq 0}$ у банаховому просторі та $T_t=C^{-1}S_t$ для всіх $t\geq0$, то виконується теорема про спектральне відображення: $e^{t\sigma(A)}\subset\sigma(T_t)$ і $e^{t\sigma_p(A)}\subset\sigma_p(T_t)\subset e^{t\sigma_p(A)}\cup\{0\}$ для всіх $t\geq 0$. Ми поширюємо результати [6] на спектр Сапфара, суттєвий спектр Сапфара, спектр Като і суттєвий спектра Като.

In this paper, a fractional Laplacian equation is investigated, which involve critical or supercritical Sobolev exponent as follows: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcl} (-\Delta)^{s} u=\lambda |u|^{p-2}u+|u|^{r-2}u+\mu |u|^{q-2}u, &\text{in } &\Omega,\\[1.5mm] u=0 &\text{on } &\partial\Omega, \end{array} \right. \end{equation*} where $(-\Delta)^{s}$ is the fractional Laplacian operator with $0< s < 1$, $1< p< 2< r< 2^*_{s}\leq q$, $2^*_{s}:=\frac{2N}{N-2s}$ is the fractional critical Sobolev exponent, $\lambda$, $\mu\geq 0$ are parameters and $\Omega\subseteq \mathbb{R}^N$$(N>2s)$ is a bounded domain with smooth boundary $\partial\Omega$. By using variational methods, truncation and Moser iteration techniques, we show that the problem has at least two nontrivial solutions.

У цій роботі досліджується наступне дробове рівняння Лапласа, яке включають критичний або надкритичний показник Соболєва: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcl} (-\Delta)^{s} u=\lambda |u|^{p-2}u+|u|^{r-2}u+\mu |u|^{q-2}u, &\text{in } &\Omega,\\[1.5mm] u=0 &\text{on } &\partial\Omega, \end{array} \right. \end{equation*} де $(-\Delta)^{s}$ — дробовий оператор Лапласа з $0< s< 1$, $1< p< 2< r< 2^*_{s}\leq q$, $2^*_{s}:=\frac{2N}{N-2s}$ це дробовий критичний показник Соболєва, $\lambda$, $\mu\geq 0$ є параметри та $\Omega\subseteq \mathbb{R}^N$$(N>2s)$ --- обмежена область з гладкою границею $\partial\Omega$. За допомогою варіаційних методів, скорочення та ітераційних методів Мозера показано, що задача має принаймні два нетривіальних розв'яків.