Factorizations of generalized Schur functions and products of passive systems
Abstract
Factorizations of Pontryagin space operator-valued generalized Schur
functions are studied. Main tools are products of contractive
operator colligations, or cascade connections of passive
discrete-time systems. The well-known notion of regular
factorizations of ordinary Schur functions is extended to the
generalized Schur class functions by using canonical reproducing
kernel Pontryagin space models. Factorizations stronger than the
regular factorization are also introduced to obtain
characterizations in the case where the products of observable
co-isometric (controllable isometric) systems preserve the
observability (controllability). These factorizations are related to
backwards shift invariant regular subspaces of de Branges-Rovnyak
spaces, and they can alternatively be viewed as regular
factorizations of generalized Schur functions with certain extreme
properties. Moreover, their properties are linked with how the
optimality is preserved under the product of optimal passive
systems.
Досліджено факторизацію операторнозначних
узагальнених функцій Шура нп просторі Понтрягіна. Основними
інструментами є добутки стискаючих операторних з'єднань, або
каскадних зв'язків пасивних систем з дискретним часом. Добре відоме
поняття регулярних факторизацій звичайних функцій Шура поширюється
на узагальнені функції класу Шура за допомогою канонічних
відтворюючих ядер для моделей простору Понтрягіна. Також вводяться
факторизації більш сильні, ніж звичайна факторизація, для отримання
характеристик, у випадку, коли добутки спостережуваних
коізометричних (керованих ізометричних) систем зберігають
спостережуваність (керованість). Ці факторизації пов’язані з
регулярними підпросторами просторів де Бранжа-Ровняка, які є
інваріантними відносно зворотнього зсуву, і їх можна також
розглядати як регулярні факторизації узагальнених функцій Шура з
певними екстремальними властивостями. Крім того, їх властивості
пов'язані з тим, як зберігається оптимальність відносно добутку
оптимальних пасивних систем.
Key words: Generalized Schur class, operator colligation, passive system, transfer function, regular factorization.
Full Text
