On some supercritical problems involving the fractional Laplacian operator
Abstract
In this paper, a fractional Laplacian equation is investigated,
which involve critical or supercritical Sobolev exponent as follows:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{lcl}
(-\Delta)^{s} u=\lambda |u|^{p-2}u+|u|^{r-2}u+\mu |u|^{q-2}u,
&\text{in } &\Omega,\\[1.5mm]
u=0 &\text{on } &\partial\Omega,
\end{array}
\right.
\end{equation*}
where $(-\Delta)^{s}$ is the fractional Laplacian operator with
$0< s < 1$, $1< p< 2< r< 2^*_{s}\leq q$, $2^*_{s}:=\frac{2N}{N-2s}$ is the
fractional critical Sobolev exponent, $\lambda$, $\mu\geq 0$ are
parameters and $\Omega\subseteq
\mathbb{R}^N$$(N>2s)$ is a bounded domain with smooth boundary
$\partial\Omega$. By using variational methods, truncation and Moser
iteration techniques, we show that the problem has at least two
nontrivial solutions.
У цій роботі досліджується наступне дробове рівняння
Лапласа, яке включають критичний або надкритичний показник Соболєва:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{lcl}
(-\Delta)^{s} u=\lambda |u|^{p-2}u+|u|^{r-2}u+\mu |u|^{q-2}u,
&\text{in } &\Omega,\\[1.5mm]
u=0 &\text{on } &\partial\Omega,
\end{array}
\right.
\end{equation*}
де $(-\Delta)^{s}$ — дробовий оператор Лапласа з
$0< s< 1$, $1< p< 2< r< 2^*_{s}\leq q$,
$2^*_{s}:=\frac{2N}{N-2s}$ це дробовий критичний показник Соболєва,
$\lambda$, $\mu\geq 0$ є параметри та $\Omega\subseteq
\mathbb{R}^N$$(N>2s)$ -- обмежена область з гладкою границею
$\partial\Omega$. За допомогою варіаційних методів, скорочення та
ітераційних методів Мозера показано, що задача має принаймні два
нетривіальних розв'яків.
Key words: Fractional Laplacian; Variational methods; Moser iteration; Supercritical exponent.
Full Text
