The existence of eigenvalues of Schrödinger operator on three dimensional lattice
Abstract
We consider a three-particle discrete Schrödinger operator
$H_{\mu,\gamma}(\mathbf{K}),$ $\mathbf{K}\in\mathbb{T}^3$,
associated to a system of three particles (two fermions and one
another particle) interacting through zero range pairwise potential
$\mu>0$ on the three-dimensional lattice $\mathbb{Z}^3.$ It is
proved that the operator $H_{\mu,\gamma}(\mathbf {K}),$
$\|\mathbf{K}\|<\delta,$ for $0<\gamma<\gamma_0$
($\gamma_0\approx 4,7655$) has no eigenvalues and for
$\gamma>\gamma_0$ has exactly three eigenvalues lying below the
essential spectrum for sufficiently large $\mu$ and small $\delta$.
Ми розглядаємо тричастинковий дискретний оператор
Шр\"{о}дінгера $H_{\mu,\gamma}(\mathbf{K}),$
$\mathbf{K}\in\mathbb{T}^3$, який асоціюється з системою з трьох
частинок (двох ферміонів і одна інша частинка), які попарно
взаємодіють через потенціал нульового радіусу $\mu>0$ на тривимірній
решітці $\mathbb{Z}^3.$ Доведено, що оператор
$H_{\mu,\gamma}(\mathbf {K}),$ $\|\mathbf{K}\|<\delta,$ для
$0<\gamma<\gamma_0$ ($\gamma_0\approx 4,7655$) не має власних
значень, а для $\gamma>\gamma_0$ має рівно три власні значення, що
лежать нижче суттєвого спектру для достатньо великих $\mu$ і малих
$\delta$.
Key words: Schrödinger operator, three-particle, Hamiltonian, zero-range, fermion, lattice, eigenvalue, quasimomentum
Full Text
