The existence of eigenvalues of Schrödinger operator on three dimensional lattice

Abstract

We consider a three-particle discrete Schrödinger operator $H_{\mu,\gamma}(\mathbf{K}),$ $\mathbf{K}\in\mathbb{T}^3$, associated to a system of three particles (two fermions and one another particle) interacting through zero range pairwise potential $\mu>0$ on the three-dimensional lattice $\mathbb{Z}^3.$ It is proved that the operator $H_{\mu,\gamma}(\mathbf {K}),$ $\|\mathbf{K}\|<\delta,$ for $0<\gamma<\gamma_0$ ($\gamma_0\approx 4,7655$) has no eigenvalues and for $\gamma>\gamma_0$ has exactly three eigenvalues lying below the essential spectrum for sufficiently large $\mu$ and small $\delta$.

Ми розглядаємо тричастинковий дискретний оператор Шр\"{о}дінгера $H_{\mu,\gamma}(\mathbf{K}),$ $\mathbf{K}\in\mathbb{T}^3$, який асоціюється з системою з трьох частинок (двох ферміонів і одна інша частинка), які попарно взаємодіють через потенціал нульового радіусу $\mu>0$ на тривимірній решітці $\mathbb{Z}^3.$ Доведено, що оператор $H_{\mu,\gamma}(\mathbf {K}),$ $\|\mathbf{K}\|<\delta,$ для $0<\gamma<\gamma_0$ ($\gamma_0\approx 4,7655$) не має власних значень, а для $\gamma>\gamma_0$ має рівно три власні значення, що лежать нижче суттєвого спектру для достатньо великих $\mu$ і малих $\delta$.

Key words: Schrödinger operator, three-particle, Hamiltonian, zero-range, fermion, lattice, eigenvalue, quasimomentum

Full Text

Article Information

Title	The existence of eigenvalues of Schrödinger operator on three dimensional lattice
Source	Methods Funct. Anal. Topology, Vol. 28 (2022), no. 3, 189-208
DOI	10.31392/MFAT-npu26_3.2022.01
MathSciNet	MR4550658
Milestones	Received 21/12/2021; Revised 24/03/2022
Copyright	The Author(s) 2022 (CC BY-SA)

Authors Information

J. I. Abdullaev
Samarkand State University, University Boulevard 15, Samarkand 140104, Uzbekistan

A. M. Khalkhuzhaev
Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan, Mirzo Ulugbek 81, Tashkent 100170, Uzbekistan

K. D. Kuliev
Samarkand State University, University Boulevard 15, Samarkand 140104, Uzbekistan

Citation Example

J. I. Abdullaev, A. M. Khalkhuzhaev, and K. D. Kuliev, The existence of eigenvalues of Schrödinger operator on three dimensional lattice, Methods Funct. Anal. Topology 28 (2022), no. 3, 189-208.

BibTex

@article {MFAT1794,
    AUTHOR = {J. I. Abdullaev and A. M. Khalkhuzhaev and K. D. Kuliev},
     TITLE = {The existence of eigenvalues of Schrödinger
operator on three dimensional  lattice},
   JOURNAL = {Methods Funct. Anal. Topology},
  FJOURNAL = {Methods of Functional Analysis and Topology},
    VOLUME = {28},
      YEAR = {2022},
    NUMBER = {3},
     PAGES = {189-208},
      ISSN = {1029-3531},
  MRNUMBER = {MR4550658},
       DOI = {10.31392/MFAT-npu26_3.2022.01},
       URL = {http://mfat.imath.kiev.ua/article/?id=1794},
}

References

Coming Soon.