Elliptic problem in an exterior domain driven by a singularity with a nonlocal Neumann condition
Abstract
We prove existence of a ground state solution to the following
problem.
\begin{align*}
(-\Delta)^{s}u+u&=\lambda|u|^{-\gamma-1}u+P(x)|u|^{p-1}u
\qquad \hbox{in}~\mathbb{R}^N\setminus\Omega,\\
N_su(x)&=0\qquad\text{in}~\Omega
\end{align*}
where $N\geq 2$, $\lambda>0$, $0\lt s,\gamma\lt 1$, $p\in(1,2_s^*-1)$
with $2_s^*=\frac{2N}{N-2s}$. Moreover,
$\Omega\subset\mathbb{R}^N$ is a smooth bounded domain,
$(-\Delta)^s$ denotes the $s$-fractional Laplacian and finally
$N_s$ denotes a nonlocal operator that describes the Neumann
boundary condition. We further establish existence of
infinitely many bounded solutions to the problem.
Доведено існування розв’язку основного стану
наступної задачі:
\begin{align*}
(-\Delta)^{s}u+u
&=\lambda|u|^{-\gamma-1}u+P(x)|u|^{p-1}u
\qquad
\text{в}~ \mathbb{R}^N\setminus\Omega\\
N_su(x)&=0\qquad\text{в}~\Omega
\end{align*}
де $N\geq2$, $\lambda>0$, $0\lt s,\gamma\lt 1$, $p\in(1,2_s^*-1)$ з
$2_s^*=\frac{2N}{N-2s}$. Крім того, $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ —
гладка обмежена область, $(-\Delta)^s$ позначає $s$-дробовий лапласіан
і, нарешті, $N_s$ позначає нелокальний оператор, який описує
неймановску граничну умову. Далі встановлюємо існування нескінченної
кількості обмежених розв’язків задачі.
Key words: Fractional Laplacian, variable order fractional Sobolev space, Kirchhoff operator, ground state solution, singularity.
Full Text
