Elliptic problem in an exterior domain driven by a singularity with a nonlocal Neumann condition
Abstract
We prove existence of a ground state solution to the following
problem.
(−Δ)su+u=λ|u|−γ−1u+P(x)|u|p−1uin RN∖Ω,Nsu(x)=0in Ω
where N≥2, λ>0, 0<s,γ<1, p∈(1,2∗s−1)
with 2∗s=2NN−2s. Moreover,
Ω⊂RN is a smooth bounded domain,
(−Δ)s denotes the s-fractional Laplacian and finally
Ns denotes a nonlocal operator that describes the Neumann
boundary condition. We further establish existence of
infinitely many bounded solutions to the problem.
Доведено існування розв’язку основного стану
наступної задачі:
(−Δ)su+u=λ|u|−γ−1u+P(x)|u|p−1uв RN∖ΩNsu(x)=0в Ω
де N≥2, λ>0, 0<s,γ<1, p∈(1,2∗s−1) з
2∗s=2NN−2s. Крім того, Ω⊂RN —
гладка обмежена область, (−Δ)s позначає s-дробовий лапласіан
і, нарешті, Ns позначає нелокальний оператор, який описує
неймановску граничну умову. Далі встановлюємо існування нескінченної
кількості обмежених розв’язків задачі.
Key words: Fractional Laplacian, variable order fractional Sobolev space, Kirchhoff operator, ground state solution, singularity.
Full Text
