Uniform and mean ergodic theorems for $C_0$-semigroups
Abstract
Let $\{T(t)\}_{t\geq0}$ be a $C_{0}$-semigroup of bounded linear
operators on a complex Banach space $\mathcal{X}$. In this paper,
we study the uniform ergodicity for a $C_{0}$-semigroup
$\{T(t)\}_{t\geq0}$ via the discrete ergodicity of a bounded linear
operator $T{(t_0)}$, for some $t_0>0$. We show that for a
$C_{0}$-semigroup $\{T(t)\}_{t\geq0}$ satisfying
$\lim\limits_{t\to\infty} \frac{\|T(t)\|}{t}=0$, the
Cesàro averages $\frac{1}{t}\int_{0}^{t} T(s) ds$ of
$\{T(t)\}_{t\geq0}$ converges uniformly as $t\to \infty$ if and only
if the Cesàro means $ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}T^k(t_0)$ of an
operator $T({t_0})$, for $t_0>0$, converges uniformly as
$n\to \infty$. Furthermore, we investigate the strong convergence
of the Cesàro averages of $\{T(t)\}_{t\geq0}$, so that we give
some sufficient conditions implying that $\{T(t)\}_{t\geq0}$ is mean
ergodic.
Нехай $\{T(t)\}_{t\geq0}$ - $C_{0}$-півгрупа обмежених
лінійних операторів у комплексному банаховому просторі
$\mathcal{X}$. Вивчається її рівномірна ергодичність шляхом
зведення до дискретної ергодичності обмеженого лінійного оператора
$T{(t_0)}$, для деякого $t_0>0$. Показано, що для $C_{0}$-півгрупи
$\{T(t)\}_{t\geq0}$, такої, що
$\lim\limits_{t\to\infty} \frac{\|T(t)\|}{t}=0$, середні Чезаро
$\frac{1}{t}\int_{0}^{t} T(s) ds$ рівномірно збігаються при
$t\to \infty$ тоді й тільки тоді, коли середні Чезаро
$ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}T^k(t_0)$ оператора $T({t_0})$, де
$t_0>0$, рівномірно збігаються при $n\to \infty$. Крім того,
досліджується сильна збіжність середніх Чезаро від
$\{T(t)\}_{t\geq0}$; даються достатні умови, за яких
$\{T(t)\}_{t\geq0}$ ергодична в середньому.
Key words: $C_0$-semigroup, Cesàro averages, Mean ergodic operator, Uniform ergodic theorems, Ergodic decomposition.
Full Text
