Open Access

Uniform and mean ergodic theorems for $C_0$-semigroups


Abstract

Let $\{T(t)\}_{t\geq0}$ be a $C_{0}$-semigroup of bounded linear operators on a complex Banach space $\mathcal{X}$. In this paper, we study the uniform ergodicity for a $C_{0}$-semigroup $\{T(t)\}_{t\geq0}$ via the discrete ergodicity of a bounded linear operator $T{(t_0)}$, for some $t_0>0$. We show that for a $C_{0}$-semigroup $\{T(t)\}_{t\geq0}$ satisfying $\lim\limits_{t\to\infty} \frac{\|T(t)\|}{t}=0$, the Cesàro averages $\frac{1}{t}\int_{0}^{t} T(s) ds$ of $\{T(t)\}_{t\geq0}$ converges uniformly as $t\to \infty$ if and only if the Cesàro means $ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}T^k(t_0)$ of an operator $T({t_0})$, for $t_0>0$, converges uniformly as $n\to \infty$. Furthermore, we investigate the strong convergence of the Cesàro averages of $\{T(t)\}_{t\geq0}$, so that we give some sufficient conditions implying that $\{T(t)\}_{t\geq0}$ is mean ergodic.

Нехай $\{T(t)\}_{t\geq0}$ - $C_{0}$-півгрупа обмежених лінійних операторів у комплексному банаховому просторі $\mathcal{X}$. Вивчається її рівномірна ергодичність шляхом зведення до дискретної ергодичності обмеженого лінійного оператора $T{(t_0)}$, для деякого $t_0>0$. Показано, що для $C_{0}$-півгрупи $\{T(t)\}_{t\geq0}$, такої, що $\lim\limits_{t\to\infty} \frac{\|T(t)\|}{t}=0$, середні Чезаро $\frac{1}{t}\int_{0}^{t} T(s) ds$ рівномірно збігаються при $t\to \infty$ тоді й тільки тоді, коли середні Чезаро $ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}T^k(t_0)$ оператора $T({t_0})$, де $t_0>0$, рівномірно збігаються при $n\to \infty$. Крім того, досліджується сильна збіжність середніх Чезаро від $\{T(t)\}_{t\geq0}$; даються достатні умови, за яких $\{T(t)\}_{t\geq0}$ ергодична в середньому.

Key words: $C_0$-semigroup, Cesàro averages, Mean ergodic operator, Uniform ergodic theorems, Ergodic decomposition.


Full Text






Article Information

TitleUniform and mean ergodic theorems for $C_0$-semigroups
SourceMethods Funct. Anal. Topology, Vol. 27 (2021), no. 2, 130-141
DOI10.31392/MFAT-npu26_2.2021.02
MathSciNet   MR4296402
Milestones  Received 26/07/2020; Revised 12/03/2021
CopyrightThe Author(s) 2021 (CC BY-SA)

Authors Information

Fatih Barki
Laboratory of Mathematical Sciences and Applications (LaSMA). Sidi Mohamed Ben Abdellah University, Faculty of Sciences Dhar Al Mahraz. Fez, Morocco.

Abdelaziz Tajmouati
Laboratory of Mathematical Sciences and Applications (LaSMA). Sidi Mohamed Ben Abdellah University, Faculty of Sciences Dhar Al Mahraz. Fez, Morocco.

Abdeslam El Bakkali
Chouaib Doukkali University, Faculty of Sciences. El Jadida, Morocco.


Export article

Save to Mendeley



Citation Example

Fatih Barki, Abdelaziz Tajmouati, and Abdeslam El Bakkali, Uniform and mean ergodic theorems for $C_0$-semigroups, Methods Funct. Anal. Topology 27 (2021), no. 2, 130-141.


BibTex

@article {MFAT1559,
    AUTHOR = {Fatih Barki and Abdelaziz Tajmouati and Abdeslam El Bakkali},
     TITLE = {Uniform and mean ergodic theorems for $C_0$-semigroups},
   JOURNAL = {Methods Funct. Anal. Topology},
  FJOURNAL = {Methods of Functional Analysis and Topology},
    VOLUME = {27},
      YEAR = {2021},
    NUMBER = {2},
     PAGES = {130-141},
      ISSN = {1029-3531},
  MRNUMBER = {MR4296402},
       DOI = {10.31392/MFAT-npu26_2.2021.02},
       URL = {http://mfat.imath.kiev.ua/article/?id=1559},
}


References

Coming Soon.

All Issues