A. El Bakkali

Let $\{T(t)\}_{t\geq0}$ be a $C_{0}$-semigroup of bounded linear operators on a complex Banach space $\mathcal{X}$. In this paper, we study the uniform ergodicity for a $C_{0}$-semigroup $\{T(t)\}_{t\geq0}$ via the discrete ergodicity of a bounded linear operator $T{(t_0)}$, for some $t_0>0$. We show that for a $C_{0}$-semigroup $\{T(t)\}_{t\geq0}$ satisfying $\lim\limits_{t\to\infty} \frac{\|T(t)\|}{t}=0$, the Cesàro averages $\frac{1}{t}\int_{0}^{t} T(s) ds$ of $\{T(t)\}_{t\geq0}$ converges uniformly as $t\to \infty$ if and only if the Cesàro means $ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}T^k(t_0)$ of an operator $T({t_0})$, for $t_0>0$, converges uniformly as $n\to \infty$. Furthermore, we investigate the strong convergence of the Cesàro averages of $\{T(t)\}_{t\geq0}$, so that we give some sufficient conditions implying that $\{T(t)\}_{t\geq0}$ is mean ergodic.

Нехай $\{T(t)\}_{t\geq0}$ - $C_{0}$-півгрупа обмежених лінійних операторів у комплексному банаховому просторі $\mathcal{X}$. Вивчається її рівномірна ергодичність шляхом зведення до дискретної ергодичності обмеженого лінійного оператора $T{(t_0)}$, для деякого $t_0>0$. Показано, що для $C_{0}$-півгрупи $\{T(t)\}_{t\geq0}$, такої, що $\lim\limits_{t\to\infty} \frac{\|T(t)\|}{t}=0$, середні Чезаро $\frac{1}{t}\int_{0}^{t} T(s) ds$ рівномірно збігаються при $t\to \infty$ тоді й тільки тоді, коли середні Чезаро $ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}T^k(t_0)$ оператора $T({t_0})$, де $t_0>0$, рівномірно збігаються при $n\to \infty$. Крім того, досліджується сильна збіжність середніх Чезаро від $\{T(t)\}_{t\geq0}$; даються достатні умови, за яких $\{T(t)\}_{t\geq0}$ ергодична в середньому.

In this paper, we show that the Ritt condition in the case of locally convex spaces can be related to the power boundedness of a universally bounded operator. We will characterize this condition by two geometric properties of the powers and we prove that the Ritt condition will be shown to be equivalent to the Tadmor condition. We study the Ritt condition for a quasinilpotent operator acting on locally convex spaces. Also, an upper bound for the norm of the powers of operators acting on locally convex spaces under Ritt condition was given.

Показано, що у випадку локально опуклих просторів умова Рітта пов’язана з обмеженістю степенів універсально обмеженого оператора. Ця умова характеризується в термінах геометричних властивостей степенів. Доведено, що умова Рітта еквівалентна умові Тедмора. Досліджена умова Рітта для вирадку квазінільпотентних операторів у локально опуклих просторах. Знайдена також верхня оцінка норм степенів операторів, які задовольняють умову Рітта.