A Remark on the Range Closures of an Elementary Operator
Abstract
Let $L(H)$ denote the algebra of operators on a complex infinite
dimensional Hilbert space $H$ into itself. For $A,B\in L(H)$, the
elementary operator $\tau_{A,B}\in L(L(H))$ is defined by
$\tau_{A,B}(X)=AXB-X$. An operator $A\in L(H)$ is said to be
generalized quasi-adjoint if $ATA=T$ implies $A^{\ast}TA^{\ast}=T$
for every $T\in C_{1}(H)$ (trace class operators). In this paper, we
give an extension of generalized quasi-adjoint operators. We
consider the class of pairs of operators $A, B\in L(H)$ such that
$\overline{R(\tau_{A,B})}^{W^{\ast}}=\overline{R(\tau_{A^{\ast},B^{\ast}})}^{W^{\ast}}$,
where $\overline{R(\tau_{A,B})}^{W^{\ast}}$ denotes the ultra-weak
closure of the range $R(\tau_{A,B})$ of $\tau_{A,B}$. Such pairs of
operators are called generalized quasi-adjoint. We establish some
basic properties of those pairs of operators.
Нехай $L(H)$ - алгебра операторів у комплексному
нескінченновимірному гільбертовому просторі $H$. Для $A,B\in L(H)$,
елементарний оператор $\tau_{A,B}\in L(L(H))$ визначається як
$\tau_{A,B}(X)=AXB-X$. Кажуть, що оператор $A\in L(H)$ є
узагальненим квазіспряженим, якщо з $ATA=T$ випливає, що
$A^{\ast}TA^{\ast}=T$ для кожного $T\in C_{1}(H)$ (клас ядерних
операторів). У статті дається розширення класу узагальнених
квазіспряжених операторів. Розглядається клас пар опера\-торів
$A, B\in L(H)$, таких, що
$\overline{R(\tau_{A,B})}^{W^{\ast}}=\overline{R(\tau_{A^{\ast},B^{\ast}})}^{W^{\ast}}$,
де через $\overline{R(\tau_{A,B})}^{W^{\ast}}$ позначене
ультраслабке замикання області значень $R(\tau_{A,B})$ of
$\tau_{A,B}$. Такі пари операторів звуться узагальненими
квазіспряженими. Встановлені основні власти\-вості таких пар
операторів.
Key words: Elementary operator, Fuglede-Putnam property, trace class operator, quasi-adjoint operator.
Full Text
