$V$-sets and the property $(VLD)$ in Banach spaces
Abstract
In this paper, we study the notion of V-sets in Banach spaces and
Banach lattices, and we give some characterizations of it in terms
of sequences. As an application, we establish new properties of
unconditionally converging operators and 1-Schur property in Banach
lattices. Next, by introducing the concept of the property $(VLD)$
in Banach spaces, we investigate the Dunford-Pettis completely
continuous property of unconditionally converging operator. Finally,
we derive the relationships between the property $(VLD)$ and the
relatively compact Dunford-Pettis property (resp., the Pelczynski's
property $(V)$), and we deduce some examples of Banach spaces with
the property $(VLD)$.
У цій роботі ми вивчаємо поняття V-множин у банахових
просторах та банахових ґратках та даємо деякі їхні характеристики у
термінах послідовностей. Як застосування, ми встановлюємо нові
властивості безумовно збіжних операторів і властивість 1-Шура в
банахових ґратках. Далі, вводячи поняття $(VLD)$ властивості у
банахових просторах, ми досліджуємо властивість цілковитої
неперервності Данфорда-Петтіса безумовно збіжного
оператора. Нарешті, ми виводимо зв’язки між $(VLD)$ властивістю і
властивістю відносної компактності Данфорда-Петтіса (відповідно,
властивістю Пельчинського $(V)$), і виводимо деякі приклади
банахових просторів із $(VLD)$ властивістю.
Key words: Banach lattice, V-set, relatively compact Dunford-Pettis property, unconditionally converging operator.
Full Text
