On the number of nodal domains on a rectangle with a slit
Abstract
In spectral geometry, one is interested in estimating the number of
nodal domains of eigenfunctions of the Laplacian on planar
domains. Well-known classical results due to Courant and Pleijel
establish upper bounds, implying that the $n$-th eigenfunction has
at most $n$ nodal domains and that indeed only a finite number of
eigenfunctions attain this maximal value. Surprisingly, however, a
seemingly simpler question remains largely open. Namely, does there
always exist a subsequence of eigenfunctions with an unbounded
number of nodal domains? It is the aim of this note to investigate
this question in the context of a rectangular domain with a slit.
В спектральній геометрії цікавим є оцінка кількості
вузловіих областей власних функцій лапласіана в плоских
областях. Відомі класичні результати Куранта і Плейеля встановлюють
верхні межі, з яких випливає, що $n$-та власна функція має не більше
ніж $n$ вузлових областей, і лише скінченна кількість власних
функцій досягають цього максимального значення. Однак, більш просте
питання ще залишається відкритим. А саме, чи завжди існує
підпослідовність власних функцій з необмеженою кількість вузлових
областей? Метою цієї роботи є дослідження цього питання в контексті
прямокутної області з прорізом.
Key words: Nodal domains, Laplacian, Slit.
Full Text
