J. Kerner

In spectral geometry, one is interested in estimating the number of nodal domains of eigenfunctions of the Laplacian on planar domains. Well-known classical results due to Courant and Pleijel establish upper bounds, implying that the $n$-th eigenfunction has at most $n$ nodal domains and that indeed only a finite number of eigenfunctions attain this maximal value. Surprisingly, however, a seemingly simpler question remains largely open. Namely, does there always exist a subsequence of eigenfunctions with an unbounded number of nodal domains? It is the aim of this note to investigate this question in the context of a rectangular domain with a slit.

В спектральній геометрії цікавим є оцінка кількості вузловіих областей власних функцій лапласіана в плоских областях. Відомі класичні результати Куранта і Плейеля встановлюють верхні межі, з яких випливає, що $n$-та власна функція має не більше ніж $n$ вузлових областей, і лише скінченна кількість власних функцій досягають цього максимального значення. Однак, більш просте питання ще залишається відкритим. А саме, чи завжди існує підпослідовність власних функцій з необмеженою кількість вузлових областей? Метою цієї роботи є дослідження цього питання в контексті прямокутної області з прорізом.

In this note we introduce the concept of a numerical range of a bounded linear operator on a Hilbert space with respect to a family of projections. We give a precise definition and elaborate on its connection to the classical numerical range as well as to generalizations thereof such as the quadratic numerical range, block numerical range, and product numerical range. In general, the importance of this new notion lies within its unifying aspect.