Real algebraic functions on closed manifolds whose Reeb graphs are given graphs
Abstract
In this paper, we construct a real-algebraic function on
some closed manifold whose Reeb (Kronrod-Reeb)
graph is a graph respecting some algebraic
domain: a graph for this is called a
Poincaré-Reeb graph.
The Reeb graph of a smooth function is defined as a
natural graph which is the quotient space of the
manifold of the domain under a natural equivalence
relation for some wide and nice class of smooth
functions. The vertex set is defined as the set of all
connected components containing some singular points of
the function: a singular point of a smooth function is a
point where the differential vanishes. Morse-Bott
functions give very specific cases. The relation is to
contract each connected component of each preimage to a
point.
Sharko has posed a natural and important problem: can we
construct a nice smooth function whose Reeb graph is a
given graph? Explicit answers have been given first by
Masumoto-Saeki in a generalized manner for closed
surfaces. After that various answers have been presented
by various researchers and most of them are essentially
for functions on closed surfaces and Morse functions
such that connected components of preimages that contain
no singular points are spheres. Recently the author has
also considered questions and answered them in the cases
where the preimages are general manifolds.
У статті побудовано дійсну алгебраїчну функцію
на деякому замкнутому многовиді, графом Реба
(Кронрода-Реба) для якого є граф, який зберігає
деяку алгебраїчну область: його графік
називається графіком Пуанкаре-Реба.
Граф Реба гладкої функції визначається як природний
граф, який є фактор\-простором многовида, що відповідає
області, відносно природньому відношенню еквівалентності
для деякого широкого класу гладких функцій. Множина
вершин визначається як множина всіх зв'язаних
компонентів, що містять деякі особливі точки функції:
особливою точкою гладкою функції є точка, в якій
диференціал дорінює нулю. Функції Морсе-Ботта є
конкретними випадками таких функцій. Відношення
еквівалентності полягає в тому, щоб звести кожен
зв'язаний компонент кожного прообразу до точки.
Шарко поставив природну і важливу проблему: чи можемо ми
побудувати хорошу гладку функцію, граф Реба якої є
заданим графом? Чіткі відповіді були дані спочатку
Масумото-Саекі в узагальненому вигляді для замкнутих
поверхонь. Після цього були дані відповіді різними
дослідниками, і більшість з них були для функцій на
замкнутих поверхнях і функцій Морса для випадку, коли
зв'язані компоненти прообразів, що не містять особливих
точок, є сферами. Нещодавно автор також розглянув і
відповів на ці питання в випадках, де прообрази є
загальними многовидами.
Key words: Kronrod-Reeb graphs. Real algebrai manifolds. Real algebrai domains. Poincaré-Reeb graph.
Full Text
