N. Kitazawa

The Reeb space of a smooth function is a topological and combinatorial object. It is important in understanding the manifold. It is a graph defined as the quotient space of the manifold where the equivalence relation is as follows: two points in the manifold are equivalent if and only if they are in a same connected component of a level set. If the function is a Morse(-Bott) function for example, then this is the graph (Reeb graph) whose vertex set is the set of all points containing some singular points in the corresponding connected component of the level set.

The author previously constructed explicit smooth functions on suitable 3-dimensional closed and orientable manifolds whose Reeb graphs are isomorphic to prescribed graphs and whose preimages are of prescribed types. The present paper concerns a variant in the case where the 3-dimensional manifolds may not be non-orientable.

Простiр Реба гладкої функцiї є топологiчним i комбiнаторним об’єктом. Вiн грає важливу роль для розумiння многовиду. Вiн є графом, який визначається як фактор-простiр многовиду, де вiдношення еквiвалентностi таке: двi точки многовида еквiвалентнi тодi i тiльки тодi, коли вони знаходяться в одному i тому ж зв’язному компонентi поверхнi рiвня. Якщо функцiя є функцiєю Морса(-Ботта), тодi це є графом (графом Реба), множина вершин якого є множиною всiх точок, що мiстять певнi особливi точки у вiдповiдних зв’язних компонентах множини рiвнiв.

Ранiше автор побудував явнi гладкi функцiї на вiдповiдних 3 - вимiрних замкнутих i орiєнтованих многовидах, графи Реба яких iзоморфнi заданим графам i прообрази яких мають заданi типи. У цiй статтi розглядається варiант в випадку, коли 3-мiрнi многовиди можуть не бути неорiєнтованими.

In this paper, we construct a real-algebraic function on some closed manifold whose Reeb (Kronrod-Reeb) graph is a graph respecting some algebraic domain: a graph for this is called a Poincaré-Reeb graph. The Reeb graph of a smooth function is defined as a natural graph which is the quotient space of the manifold of the domain under a natural equivalence relation for some wide and nice class of smooth functions. The vertex set is defined as the set of all connected components containing some singular points of the function: a singular point of a smooth function is a point where the differential vanishes. Morse-Bott functions give very specific cases. The relation is to contract each connected component of each preimage to a point. Sharko has posed a natural and important problem: can we construct a nice smooth function whose Reeb graph is a given graph? Explicit answers have been given first by Masumoto-Saeki in a generalized manner for closed surfaces. After that various answers have been presented by various researchers and most of them are essentially for functions on closed surfaces and Morse functions such that connected components of preimages that contain no singular points are spheres. Recently the author has also considered questions and answered them in the cases where the preimages are general manifolds.

У статті побудовано дійсну алгебраїчну функцію на деякому замкнутому многовиді, графом Реба (Кронрода-Реба) для якого є граф, який зберігає деяку алгебраїчну область: його графік називається графіком Пуанкаре-Реба. Граф Реба гладкої функції визначається як природний граф, який є фактор\-простором многовида, що відповідає області, відносно природньому відношенню еквівалентності для деякого широкого класу гладких функцій. Множина вершин визначається як множина всіх зв'язаних компонентів, що містять деякі особливі точки функції: особливою точкою гладкою функції є точка, в якій диференціал дорінює нулю. Функції Морсе-Ботта є конкретними випадками таких функцій. Відношення еквівалентності полягає в тому, щоб звести кожен зв'язаний компонент кожного прообразу до точки. Шарко поставив природну і важливу проблему: чи можемо ми побудувати хорошу гладку функцію, граф Реба якої є заданим графом? Чіткі відповіді були дані спочатку Масумото-Саекі в узагальненому вигляді для замкнутих поверхонь. Після цього були дані відповіді різними дослідниками, і більшість з них були для функцій на замкнутих поверхнях і функцій Морса для випадку, коли зв'язані компоненти прообразів, що не містять особливих точок, є сферами. Нещодавно автор також розглянув і відповів на ці питання в випадках, де прообрази є загальними многовидами.

For a smooth function of a suitable class, the space of all connected components of preimages is the graph and called the Reeb graph. Reeb graphs are fundamental tools in studying algebraic topological properties and differential topological ones for Morse functions and more general functions which are not so wild. They are strong tools not only in geometry, but also in applications of mathematics such as visualizations. In the present paper, we study whether we can construct a smooth function with good geometric properties inducing a given graph as the Reeb graph and having prescribed preimages. This paper concentrates on smooth functions on surfaces and manifolds which may be non-closed with no boundary as a pioneering case and give answers with new ideas. This problem was essentially launched by Sharko in 2000s and various answers on functions on closed manifolds have been given by others and the author.

Для неперервної функції певного класу простір усіх зв'язних компонент в повному прообразі є графом, який називається графом Реба. Графи Реба є фундаментальний засіб для вивчення алгебраїчних топологічних властивостей та диференціальних топологічних властивостей функцій Морса та функцій, що не є дуже дикими. Вони також встановлюють зручний інструмент в геометрії, а також для застосувань математики в візуалізації. В статті вивчається можливість побудови гладкої функції, яка має гарні геометричні властивості, включаючи заданий граф в якості її графу Реба, та має заданий повний прообраз. Особлива увага приділяється гладким функціям на поверхнях та многовидах, які можуть бути незамкненими і не мати границі. Ця проблема була суттєво започаткована Щарко в 2000-х, а певні відповіді для функцій на замкнених многовидах були отримані автором та іншими дослідниками.