R. F. Patterson

This paper examines four-dimensional matrices in $(\mathcal{L}_{1},\mathcal{L}_{1})$ under standard matrix product. Using established characterizations of $(\mathcal{L}_{1},\mathcal{L}_{1};P)$, we demonstrate that $(\mathcal{L}_{1},\mathcal{L}_{1})$ forms a Banach algebra under standard matrix operations. We prove that $(\mathcal{L}_{1},\mathcal{L}_{1};P)$ is a closed, convex semigroup with identity under matrix product. Finally, we present a Mercerian-type theorem for four-dimensional matrices via matrix product.

In the late 1950's and early 1960's Kurzweil and Henstock presented the concept of Gauge integral. Following their results, Savas and Patterson extended this concept to summability theory by considering $\,f(\psi)$ real valued function which is integrable in the Gauge sense on $(1,\infty) $. The goal of this paper includes the extension of these notion to statistical convergence. This will be accomplished by presenting the definition of statistically convergent to $L$ via cardinality in Lebesgue sense. Natural implications and variations are also presented.

В кінці 1950-х та на початку 1960-х років Курцвайль і Хенсток сформулювали концепцію калібрувального інтеграла. Савас і Паттерсон поширили це на теорію підсумовування, розглянувши дійсні функції $\,f(\psi) $, інтегровні в калібрувальному сенсі на $(1, \infty)$. Метою цієї роботи є поширення цього поняття на випадок статистичної збіжності. Для цього дається визначення статистичної збіжності за мірою Лебега. Обговорюються наслідки та можливі варіанти цього підходу.