M. Zaatra

An orthogonal sequence with respect to a regular linear functional $w$ is said to be semiclassical if there exist a monic polynomial $\Phi$ and a polynomial $\Psi$ with $\deg(\Psi)\geq1$, such that $(\Phi w)^{'}+\Psi w=0$. Recently, all semiclassical monic orthogonal polynomial sequences of class one satisfying a three term recurrence relation with $\beta_{0}=-\alpha_{0}$, $\beta_{n+1}=\alpha_{n}-\alpha_{n+1}$ and $\gamma_{n+1}=-\alpha_{n}^{2}$ with $ \alpha_{n}\neq0\,,\;n\geq0,$ have been determined [17].

In this paper, we point sequences of the above family such that their corresponding Stieltjes function $S(w)(z)=-\displaystyle\sum_{n\geq0}\frac{(w)_{n}}{z^{n+1}}$ satisfies a quadratic equation $B(z)S^{2}(w)(z)+C(z)S(w)(z)+D(z)=0$, where $B$, $C$, $D$ are polynomials.

Ортогональна послідовність відносно регулярного лінійного функціонала $w$ називається напівкласичною, якщо існує моном $\Phi$ і поліном $\Psi$, $\deg(\Psi)\geq1$, такі, що $(\Phi w)^{'}+\Psi w=0$. Останнім часом всі напівкласичні монічні ортогональні поліноміальні послідовності першого класу, що задовольняють тричленному рекурентному відношенню, коли $\beta_{0}=-\alpha_{0}$, $\beta_{n+1}=\alpha_{n}-\alpha_{n+1}$ і $\gamma_{n+1}=-\alpha_{n}^{2}$ з $ \alpha_{n}\neq0$, $n\geq0,$ були визначені [17].

В статті вказуються послідовності вищевказаної сім'ї такі, що їх відповідна функція Стілтьєса $S(w)(z)=-\displaystyle\sum_{n\geq0}\frac{(w)_{n}}{z^{n+1}}$ задовольняє квадратичному рівнянню $B(z)S^{2}(w)(z)+C(z)S(w)(z)+D(z)=0$, де $B$, $C$, $D$ -- поліноми.