M. Gil'

Let $\mathcal{H}$ be a separable Hilbert space, and $A$ be a linear operator on $\mathcal{H}$ with a Hilbert-Schmidt resolvent and a bounded imaginary Hermitian component. Assuming that the spectrum of $A$ lies in the open left half-plane we suggest the conditions that provide the location of the spectrum of a bounded perturbation of $A$ in the open left half-plane.

Нехай $\mathcal{H}$ - сепарабельний гільбертовий простір, а $A$ - лінійний оператор на $\mathcal{H}$ з резольвентою Гільберта-Шмідта та обмеженою уявниою компонентою. Припускаючи, що спектр $A$ лежить у відкритої лівої півплощині, запропоновано пропонуємо умови, які забезпечують розташування спектру обмеженого збурення $A$ в відкритій лівій півплощині.

We consider a linear unbounded operator $A$ in a separable Hilbert space with the following property: there is an invertible selfadjoint operator $S$ with a discrete spectrum such that $\|(A-S)S^{-\nu}\|<\infty$ for a $\nu\in [0,1]$. Besides, all eigenvalues of $S$ are assumed to be different. Under certain assumptions it is shown that $A$ is similar to a normal operator and a sharp bound for the condition number is suggested. Applications of that bound to spectrum perturbations and operator functions are also discussed. As an illustrative example we consider a non-selfadjoint differential operator.