B. P. Ojha

This paper deals with a generalization of orthogonality in terms of bounded linear operators on a Banach space. The goal is to find a relation between orthogonality of images and orthogonality of elements. We prove that if the images of a bounded linear operator are orthogonal in the Pythagorean sense, then the elements are orthogonal in the sense of Birkhoff's definition. In the case of Robert's orthogonality in terms of bounded linear operators under the restriction that any element belongs to the intersection of the norm attainment set of $T_1+\lambda T_2$ and $T_1-\lambda T_2$, if the images are orthogonal, then it implies that the operators are also orthogonal. Furthermore, some results in relation to the Carlsson, isosceles, and approximate Birkhoff-James orthogonality have been obtained.

У цій роботі розглядяється узагальнення ортогональності в термінах обмежених лінійних операторів на банаховому просторі. Метою роботи є знайти співвідношення між ортогональністю зображень і ортогональністю елементів. Доведено, що якщо образи обмеженого лінійного оператора ортогональні в піфагоровому сенсі, то елементи є ортогональний у сенсі визначення Біркгофа. У випадку ортогональності Роберта в термінах обмежених лінійних операторів із умовою, що будь-який елемент належить до перетину множин де оператори $T_1+\lambda T_2$ і $T_1-\lambda T_2$ досягають норми, з ортогональності образів випливає, що оператори є також ортогональні. Також отримано деякі результати про ортогональність в сенсі Карлссона, рівнобічної ортогональності та наближеної ортогональності в сенсі Біркгофа-Джеймса.

This paper is an overview of various results on Birkhoff-James orthogonality of operators in Hilbert space and Banach spaces. We mainly focus on Birkhoff orthogonality of linear(bounded and compact) operators in terms of matrices, projection angles, Hilbert $C^{*}$-modules as well as on Banach modules. The article concludes with some open problems regarding possible correlation between Birkhoff-James orthogonality and Carlsson orthogonality, particularly in the case of Pythagorean orthogonality.

Дано огляд різноманітних результатів щодо ортогональності в сенсі Біркгофа-Джеймса операторів у гільбертових і банахових просторах. Переважно розгля\-дається ортогональність за Біркгофом лінійних (обмежених і компактних) операторів у термінах матриць, кутів, гільбертових С*-модулів, а також банахових модулів. Наведені деякі відкриті питання стосовно співвідношень ортогональністю Біркгофа-Джеймса та ортогональністю Карлссона, зокрема для випадку піфагорової ортогональності.