M. H. M. Rashid

A Hilbert space operator $T$ is said to be $p$-$w$-hyponormal with $0 < p\leq 1$ if $|\widetilde{T}|^p\geq |T|^p\geq |\widetilde{T}^{*}|^p$, where $\widetilde{T}$ is the Aluthge transform. In this paper we prove basic properties of these operators. Using these results, we also prove that if $P$ is a Riesz idempotent for a non-zero isolated point $\lambda$ of the spectrum of $T$, then $P$ is self-adjoint. Among other things, we prove these operators are finitely ascensive and that, for non-zero $p$-$w$-hyponormal $T$ and $S$, $T\otimes S$ is $p$-$w$-hyponormal if and only if $T$ and $S$ are $p$-$w$-hyponormal. Moreover, it is shown that property $(gt)$ holds for $f(T)$, where $f\in H_{nc}(\sigma(T)).$

Оператор $T$ у гільбертовім просторі називається $p$-$w$-гіпонормальним, де $0 < p\leq 1$, якщо $ |\widetilde{T}|^p\geq |T|^p\geq |{\widetilde{T}}^{*}|^p$, де $\widetilde{T}$ --- перетворення Алутге. В цій роботі досліджені основні властивості таких операторів. Показано також, що якщо $P$ --- ідемпотент Рісса, який відповідає ненульовій ізольованій точці $\lambda$ спектру $T$, то оператор $P$ самоспряжений. Доведено, що ці оператори мають скінченний підйом і що для ненульових $p$-$w$-гіпонормальних $T$ і $S$, $T\otimes S$ є $p$-$w$-гіпонормальним тоді й тільки тоді, коли $T$ і $S$ $p$-$w$-гіпонормальні. Крім того, доведено, що властивість $(gt)$ має місце для $f(T)$, де $f\in H_{nc}(\sigma(T)).$

In this paper, we show that every $k$-quasi-class $A$ operator has a scalar extension and give some spectral properties of the scalar extensions of $k$-quasi-class $A$ operators. As a corollary, we get that such an operator with rich spectrum has a nontrivial invariant subspace.

In this paper we study the properties $( \rm{gaw}), (aw), ( \rm{gab})$ and $(ab)$, a variant of Weyl's type theorems introduced by Berkani. We established for a bounded linear operator defined on a Banach space several sufficient and necessary conditions for which the properties $(\rm{gaw}), (aw), ( \rm{gab})$ and $(ab)$ hold. Among other things, we study the stability of the properties $( \rm{gaw}), (aw), ( \rm{gab})$ and $(ab)$ for a polaroid operator $T$ acting on a Banach space, under perturbations by finite rank operators, by nilpotent operators and, more generally, by algebraic operators commuting with $T$.