Vol. 28 (2022), no. 4

We consider the problem of extending the notion of a Fredholm integral equation and investigate its solvability in the class of bounded functions on the real line.

Розглядається задача розширення поняття iнтегрального рiвняння Фредгольма i дослiджено його розв’язнiсть у класi обмежених функцiй на дiйснiй прямiй.

We study the question of existence of a unique bounded solution to a Cauchy problem for a higher-order differential equation with bounded operator coefficients. The case under consideration is where the corresponding “algebraic” operator equation has separated pairwise commuting roots. Using the Vandermonde operator constructed from such roots, representations for a unique bounded solution and the Cauchy problem are obtained.

Вивчається питання iснування єдиного обмеженого рохв’язку задачi Кошi для диференцiального рiвняння вищого порядку з обмеженим оператором коефiцiєнтами. Розглядається випадок, в якому вiдповiдне “алгебраїчне” операторне рiвняння має вiдокремленi попарно коммутуючi коренi. Використовуючи оператор Вандермонда, який побудований за такими коренями, отримано представлення для єдиного обмеженого розв’язку задачi Кошi.

In this paper, we construct a real-algebraic function on some closed manifold whose Reeb (Kronrod-Reeb) graph is a graph respecting some algebraic domain: a graph for this is called a Poincaré-Reeb graph. The Reeb graph of a smooth function is defined as a natural graph which is the quotient space of the manifold of the domain under a natural equivalence relation for some wide and nice class of smooth functions. The vertex set is defined as the set of all connected components containing some singular points of the function: a singular point of a smooth function is a point where the differential vanishes. Morse-Bott functions give very specific cases. The relation is to contract each connected component of each preimage to a point. Sharko has posed a natural and important problem: can we construct a nice smooth function whose Reeb graph is a given graph? Explicit answers have been given first by Masumoto-Saeki in a generalized manner for closed surfaces. After that various answers have been presented by various researchers and most of them are essentially for functions on closed surfaces and Morse functions such that connected components of preimages that contain no singular points are spheres. Recently the author has also considered questions and answered them in the cases where the preimages are general manifolds.

У статті побудовано дійсну алгебраїчну функцію на деякому замкнутому многовиді, графом Реба (Кронрода-Реба) для якого є граф, який зберігає деяку алгебраїчну область: його графік називається графіком Пуанкаре-Реба. Граф Реба гладкої функції визначається як природний граф, який є фактор\-простором многовида, що відповідає області, відносно природньому відношенню еквівалентності для деякого широкого класу гладких функцій. Множина вершин визначається як множина всіх зв'язаних компонентів, що містять деякі особливі точки функції: особливою точкою гладкою функції є точка, в якій диференціал дорінює нулю. Функції Морсе-Ботта є конкретними випадками таких функцій. Відношення еквівалентності полягає в тому, щоб звести кожен зв'язаний компонент кожного прообразу до точки. Шарко поставив природну і важливу проблему: чи можемо ми побудувати хорошу гладку функцію, граф Реба якої є заданим графом? Чіткі відповіді були дані спочатку Масумото-Саекі в узагальненому вигляді для замкнутих поверхонь. Після цього були дані відповіді різними дослідниками, і більшість з них були для функцій на замкнутих поверхнях і функцій Морса для випадку, коли зв'язані компоненти прообразів, що не містять особливих точок, є сферами. Нещодавно автор також розглянув і відповів на ці питання в випадках, де прообрази є загальними многовидами.

The aim of this work is to introduce the domain and the Favard spaces of order $\alpha$ where $\alpha\in]0,1]$ for $k$-regularized resolvent family, extending some of the well-known theorems for semigroup and resolvent family. Furthermore, we show some relationship between the Favard temporal spaces and the Favard frequential spaces for scalar Volterra linear systems in Banach spaces, extending some results in [8,3].

Метою цієї роботи є ввести область та простори Фавара порядку $ \alpha$, де $ \alpha \in] 0,1] $ для $k $ --- регуляризованої сім'ї резольвент, та розширити деякі з добре відомих теорем для напівгруп і сімей резольвент. Крім того, ми показуємо деякий взаємозв'язок між часовими просторами Фавара та просторовими просторами Фавара для скалярних лінійних систем Вольтерра в банахових просторах, розширюючи деякі результати в [8,3].

In this article, we consider algebras $\mathcal{A}$ of non-formal pseudodifferential operators over $S^1$ which contain $C^\infty(S^1),$ understood as multiplication operators. We apply a construction of Chern-Weil type forms in order to get $2k-$closed cocycles. For $k=1,$ we obtain a cocycle on the algebra of (maybe non classical) pseudodifferential operators with the same cohomology class as the Schwinger cocycle on the algebra of classical pseudodifferential operators, previously extended and studied by the author on algebras of the same type.

У цій статті ми розглядаємо алгебри $\mathcal {A}$ неформальних псевдодиференціальних операторів над $ S^1$, які містять $C ^ \infty (S ^ 1) $ і розглядаються як оператори множення. Застосовується конструкцію форм типу Черна-Вейля, для отримання $ 2k$-замкне\-них коциклів. Для $ k = 1 $, ми отримуємо коцикл на алгебрі псевдодиференційних операторів (можливо, некласичній) з тим самим класом когомологій, що і коцикл Швінгера на алгебрі класичних псевдодиференціальних операторів, який був раніше розширений і вивчений автором на алгебрах того ж самого типу.