Vol. 29 (2023), no. 1-2

We investigate the linear wave equations on the quantum trees $S_{N}$ and $P_{2}\vartriangleright S_{2}$ with Dirichlet vertex conditions at each leaf vertex. We first determine the edge-based Laplacian spectra on the quantum tree using quantitative analysis of the scattering matrix. This yields edge-based Laplacian spectral properties in the quantum trees $S_{N}$ and $P_{2}\vartriangleright S_{2}$, which we use to determine the general solution of the linear wave equation. Furthermore, we provide a solution to the wave equation with a Gaussian wave packet as an initial condition. We present an example of our numerical simulation.

Досліджуються лінійні хвильові рівняння на квантових деревах $S_{N}$ і $P_{2}\vartriangleright S_{2}$ з вузловими умовами Діріхле на кожній вершині ребра. Спочатку визначаємо спектр лапласіана для кожного вузла на квантовому дереві за якісного аналізу матриці розсіювання. Це дає спектральні властивості лапласіана на кожному ребрі для квантових дерев $S_{N}$ і $P_{2}\vartriangleright S_{2}$, який далі використовується для визначення загального розв'язку лінійного хвильового рівняння. Крім того, розв’язано хвильове рівняння з хвильовим пакетом Гауса в якості початковій умови. Наведемо приклад чисельного моделювання.

We prove existence of a ground state solution to the following problem. \begin{align*} (-\Delta)^{s}u+u&=\lambda|u|^{-\gamma-1}u+P(x)|u|^{p-1}u \qquad \hbox{in}~\mathbb{R}^N\setminus\Omega,\\ N_su(x)&=0\qquad\text{in}~\Omega \end{align*} where $N\geq 2$, $\lambda>0$, $0\lt s,\gamma\lt 1$, $p\in(1,2_s^*-1)$ with $2_s^*=\frac{2N}{N-2s}$. Moreover, $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ is a smooth bounded domain, $(-\Delta)^s$ denotes the $s$-fractional Laplacian and finally $N_s$ denotes a nonlocal operator that describes the Neumann boundary condition. We further establish existence of infinitely many bounded solutions to the problem.

Доведено існування розв’язку основного стану наступної задачі: \begin{align*} (-\Delta)^{s}u+u &=\lambda|u|^{-\gamma-1}u+P(x)|u|^{p-1}u \qquad \text{в}~ \mathbb{R}^N\setminus\Omega\\ N_su(x)&=0\qquad\text{в}~\Omega \end{align*} де $N\geq2$, $\lambda>0$, $0\lt s,\gamma\lt 1$, $p\in(1,2_s^*-1)$ з $2_s^*=\frac{2N}{N-2s}$. Крім того, $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ — гладка обмежена область, $(-\Delta)^s$ позначає $s$-дробовий лапласіан і, нарешті, $N_s$ позначає нелокальний оператор, який описує неймановску граничну умову. Далі встановлюємо існування нескінченної кількості обмежених розв’язків задачі.

Existence of solutions of a functional differential equation where the sate depends on its derivative will be studied. Uniqueness of the solution will be analyzed and continuous dependence of the unique solution will be proved. Some examples will be given.

Буде вивчено існування розв'язків функціонально-диференціального рівняння, стан якого залежить від його похідної. Буде проаналізована єдиність розв'язку і доведено неперервну залежність єдиного розв'язку. Наведені деякі приклади.

We characterize smooth points of unit balls in some spaces of bilinear forms on $\mathbb{R}^2$. We find that for some special cases of hexagonal norms, the set of smooth points of the unit ball of symmetric bilinear forms coincides with the set of those smooth points of the unit ball of bilinear forms that are symmetric.

Надано характеристику гладким точкам одиничних куль в деяких просторах білінійних форм на $ \mathbb {R}^2$. Знайдено, що для деяких частинних випадків гексагональних норм множина гладких точок одиничної кулі співпадає з множиною тих гладких точок одиничної кулі білінійних форм, які є симетричними.

The Reeb space of a smooth function is a topological and combinatorial object. It is important in understanding the manifold. It is a graph defined as the quotient space of the manifold where the equivalence relation is as follows: two points in the manifold are equivalent if and only if they are in a same connected component of a level set. If the function is a Morse(-Bott) function for example, then this is the graph (Reeb graph) whose vertex set is the set of all points containing some singular points in the corresponding connected component of the level set.

The author previously constructed explicit smooth functions on suitable 3-dimensional closed and orientable manifolds whose Reeb graphs are isomorphic to prescribed graphs and whose preimages are of prescribed types. The present paper concerns a variant in the case where the 3-dimensional manifolds may not be non-orientable.

Простiр Реба гладкої функцiї є топологiчним i комбiнаторним об’єктом. Вiн грає важливу роль для розумiння многовиду. Вiн є графом, який визначається як фактор-простiр многовиду, де вiдношення еквiвалентностi таке: двi точки многовида еквiвалентнi тодi i тiльки тодi, коли вони знаходяться в одному i тому ж зв’язному компонентi поверхнi рiвня. Якщо функцiя є функцiєю Морса(-Ботта), тодi це є графом (графом Реба), множина вершин якого є множиною всiх точок, що мiстять певнi особливi точки у вiдповiдних зв’язних компонентах множини рiвнiв.

Ранiше автор побудував явнi гладкi функцiї на вiдповiдних 3 - вимiрних замкнутих i орiєнтованих многовидах, графи Реба яких iзоморфнi заданим графам i прообрази яких мають заданi типи. У цiй статтi розглядається варiант в випадку, коли 3-мiрнi многовиди можуть не бути неорiєнтованими.

The purpose of this paper is to establish a Rodrigues type formula for $q$-Dunkl-classical symmetric orthogonal $q$-polynomials.

Нашою метою є встановити формулу типу Родрiгеса для $q$-класичних симетричних ортогональних $q$-полiномiв Данкла.