Authors Index, Vol. 29, 2023

In this paper we prove the bicomplex version of the Alaoglu theorem for a topological $\mathbb{BC}$-module $X$. The concept of a $\mathbb{BC}$-dual pair and a product-type open cover in bicomplex is also introduced.

Доведено бікомплексну версію теореми Alaoglu у топологічному $\mathbb{BC}$-модулі $X.$ Також наведено поняття про $\mathbb{BC}$-дуальну пару та відкрите покриття типу добутку в бікомплексі.

In this paper, the sine-Gordon expansion method is implemented to obtain new explicit solutions for the nonlinear Wu-Zhang system with a time-fractional conformable derivative. The solutions constructed are plotted with the Maple software and expressed by three types of functions: hyperbolic function solution, exponential function solution and trigonometric function solution. The nonlinear fractional partial differential equation is converted into an ordinary differential equation of integer order. This method is used to solve a fractional Wu-Zhang system. These solutions might be important and highly useful in various scientific fields. It is shown that this method is very efficient for constructing exact solutions of nonlinear fractional partial differential equations.

Реалізовано метод розширення синус-Гордона для отримання нових явних розв'язків для нелінійної системи Ву-Жанга із дробове-конформною похідною за часом. Отримані розв'язки будуються за допомогою програмного забезпечення Maple і виражаються трьома типами функцій: гіперболічними функціями, показниковими функціями та тригонометричними функціями. Нелінійне диференціальне рівняння з дробовими похідними перетворюється в звичайне диференціальне рівняння з цілим порядком. Цей метод використовується для розв’язку системи У-Чжан з дробовими похідними. Рішення можуть бути важливими і дуже корисними у різних галузях науки. Показано, що це метод є дуже ефективним для побудови точних розв'язків нелінійних рівнянь з дробовими похідними.

We investigate the linear wave equations on the quantum trees $S_{N}$ and $P_{2}\vartriangleright S_{2}$ with Dirichlet vertex conditions at each leaf vertex. We first determine the edge-based Laplacian spectra on the quantum tree using quantitative analysis of the scattering matrix. This yields edge-based Laplacian spectral properties in the quantum trees $S_{N}$ and $P_{2}\vartriangleright S_{2}$, which we use to determine the general solution of the linear wave equation. Furthermore, we provide a solution to the wave equation with a Gaussian wave packet as an initial condition. We present an example of our numerical simulation.

Досліджуються лінійні хвильові рівняння на квантових деревах $S_{N}$ і $P_{2}\vartriangleright S_{2}$ з вузловими умовами Діріхле на кожній вершині ребра. Спочатку визначаємо спектр лапласіана для кожного вузла на квантовому дереві за якісного аналізу матриці розсіювання. Це дає спектральні властивості лапласіана на кожному ребрі для квантових дерев $S_{N}$ і $P_{2}\vartriangleright S_{2}$, який далі використовується для визначення загального розв'язку лінійного хвильового рівняння. Крім того, розв’язано хвильове рівняння з хвильовим пакетом Гауса в якості початковій умови. Наведемо приклад чисельного моделювання.

We prove existence of a ground state solution to the following problem. \begin{align*} (-\Delta)^{s}u+u&=\lambda|u|^{-\gamma-1}u+P(x)|u|^{p-1}u \qquad \hbox{in}~\mathbb{R}^N\setminus\Omega,\\ N_su(x)&=0\qquad\text{in}~\Omega \end{align*} where $N\geq 2$, $\lambda>0$, $0\lt s,\gamma\lt 1$, $p\in(1,2_s^*-1)$ with $2_s^*=\frac{2N}{N-2s}$. Moreover, $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ is a smooth bounded domain, $(-\Delta)^s$ denotes the $s$-fractional Laplacian and finally $N_s$ denotes a nonlocal operator that describes the Neumann boundary condition. We further establish existence of infinitely many bounded solutions to the problem.

Доведено існування розв’язку основного стану наступної задачі: \begin{align*} (-\Delta)^{s}u+u &=\lambda|u|^{-\gamma-1}u+P(x)|u|^{p-1}u \qquad \text{в}~ \mathbb{R}^N\setminus\Omega\\ N_su(x)&=0\qquad\text{в}~\Omega \end{align*} де $N\geq2$, $\lambda>0$, $0\lt s,\gamma\lt 1$, $p\in(1,2_s^*-1)$ з $2_s^*=\frac{2N}{N-2s}$. Крім того, $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ — гладка обмежена область, $(-\Delta)^s$ позначає $s$-дробовий лапласіан і, нарешті, $N_s$ позначає нелокальний оператор, який описує неймановску граничну умову. Далі встановлюємо існування нескінченної кількості обмежених розв’язків задачі.

Existence of solutions of a functional differential equation where the sate depends on its derivative will be studied. Uniqueness of the solution will be analyzed and continuous dependence of the unique solution will be proved. Some examples will be given.

Буде вивчено існування розв'язків функціонально-диференціального рівняння, стан якого залежить від його похідної. Буде проаналізована єдиність розв'язку і доведено неперервну залежність єдиного розв'язку. Наведені деякі приклади.

This paper aims to study the concept of weaving operator frames within Hilbert spaces $\mathcal{H}$. Properties of weaving operator frames are explored. An investigation into the dual aspect of weaving operator frames within $B(\mathcal{H})$ spaces is presented. The behavior and characteristics of weaving operator responses within the context of Hilbert spaces are discuted. Finally, perturbation results concerning weaving operator frames are obtained.

В статті вивчається концепція фреймів сплітаючих операторів в гільбертових просторах $\mathcal{H}$. Досліджуються властивості фреймів сплітаючих операторів. Вивчено подвійний аспект фреймів сплітаючих операторів в просторах $B(\mathcal{H})$. Обговорено поведінку та характеристики реакцій сплітаючего оператора в контексті гільбертових просторів. Отримано результати збурення фреймів сплітаючих операторів.

In this paper we characterize spaces of continuous and $L^p$-functions on a compact Hausdorff space that are invariant under a transitive and continuous group action. This work generalizes Nagel and Rudin's 1976 results concerning unitarily and Möbius invariant spaces of continuous and measurable functions defined on the unit sphere in $\mathbb{C}^n.$

У статті ми характеризуємо простори неперервних і $L^p$-функцій на компакті, які є інваріантними відносно неперервної та транзитивної дії групи. Робота узагальнює результати Нагеля і Рудіна 1976 року про інваріантні простори неперервних і вимірних функцій визначений на одиничній сфері в $\mathbb{C}^n$ відносно дій унітарної групи та групи Мебіуса.

We characterize smooth points of unit balls in some spaces of bilinear forms on $\mathbb{R}^2$. We find that for some special cases of hexagonal norms, the set of smooth points of the unit ball of symmetric bilinear forms coincides with the set of those smooth points of the unit ball of bilinear forms that are symmetric.

Надано характеристику гладким точкам одиничних куль в деяких просторах білінійних форм на $ \mathbb {R}^2$. Знайдено, що для деяких частинних випадків гексагональних норм множина гладких точок одиничної кулі співпадає з множиною тих гладких точок одиничної кулі білінійних форм, які є симетричними.

For $n\geq 2$ and a Banach space $E$ we let $$ \Pi(E)=\{[x^*, x_1, \ldots, x_n]: x^{*}(x_j)=\|x^{*}\|=\|x_j\|=1~\mbox{for}~{j=1, \ldots, n}~\}, $$ ${\mathcal L}(^n E:E)$ denote the space of all continuous $n$-linear mappings from $E$ to itself. An element $[x^*, x_1, \ldots, x_n]\in \Pi(E)$ is called a numerical radius point of $T\in {\mathcal L}(^n E:E)$ if $$ |x^{*}(T(x_1, \ldots, x_n))|=v(T), $$ where $v(T)$ is the numerical radius of $T$. By $\rm{Nradius}({T})$ we denote the set of all numerical radius points of $T$. Let $0\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}$ and $\ell^2_{{({\infty}, \theta)}}=\mathbb{R}^2$ with the rotated supremum norm $$ \|(x, y)\|_{{({\infty}, \theta)}}=\max\Big\{|x \cos \theta+y \sin \theta|,~ |x \sin \theta-y \cos \theta|\Big\}. $$ In this paper, we show that the numerical radius of $T\in{\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}})$ equals to its norm $\|T\|.$ Using this, we classify $\rm{Nradius}({T})$ for every $T\in {\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}})$ in connection with the norming points of the bilinear mapping associated with $T$. Let $$ \mbox{NA}({\mathcal L}(^n E:E))=\{T\in {\mathcal L}(^n E:E): T~\mbox{is norm attaining} \} $$ and $$ \mbox{NRA}({\mathcal L}(^n E:E))=\{T\in {\mathcal L}(^n E:E): T~\mbox{is numerical radius attaining} \}. $$ We also show that $ \mbox{NA}({\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}))=\mbox{NRA}({\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}})),$ which generalizes some results in [12].

Для $n\geq 2$ і банахова простору $E$ покладемо $$ \Pi(E)=\{[x^*, x_1, \ldots, x_n]: x^{*}(x_j)=\|x^{*}\|=\|x_j\|=1~\mbox{для}~{j=1, \ldots, n}~\}, $$ де ${\mathcal L}(^n E:E)$ позначає простір усіх неперервних $n$-лінійних відображень $E$ на себе. Елемент $[x^*, x_1, \ldots, x_n]\in \Pi(E)$ називається точкою чисельного радіусу $T\in {\mathcal L}(^n E:E)$, якщо $$ |x^{*}(T(x_1, \ldots, x_n))|=v(T), $$ де $v(T)$ — чисельний радіус $T$. За $\rm{Nradius}({T})$ позначимо множину всіх точок чисельного радіусу $T$. Нехай $0\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}$ і $\ell^2_{{({\infty}, \theta)}}=\mathbb{R}^2$ із поверненою супремум нормою $$ \|(x, y)\|_{{({\infty}, \theta)}}=\max\Big\{|x \cos \theta+y \sin \theta|,~ |x \sin \theta-y \cos \theta|\Big\}. $$ Показано, що чисельний радіус $T\in{\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}})$ дорівнює своїй нормі $\|T\|.$ Використовуючи це, ми класифікуємо $\rm{Nradius}({T})$ для кожного $T\in {\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}})$, пов'язуючи з нормуючими точками білінійного відображення, відповідного $T$. Нехай $$ \mbox{NA}({\mathcal L}(^n E:E))=\{T\in {\mathcal L}(^n E:E): T~\mbox{досягає норми} \} $$ і $$ \mbox{NRA}({\mathcal L}(^n E:E))=\{T\in {\mathcal L}(^n E:E): T~\mbox{досягає чисельного радіусу} \} . $$ Ми також показуємо що $ \mbox{NA}({\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}))=\mbox{NRA}({\mathcal L}(^2~ \ell^2_{{({\infty}, \theta)}}: \ell^2_{{({\infty}, \theta)}})),$ що узагальнює деякі результати роботи [12].

The Reeb space of a smooth function is a topological and combinatorial object. It is important in understanding the manifold. It is a graph defined as the quotient space of the manifold where the equivalence relation is as follows: two points in the manifold are equivalent if and only if they are in a same connected component of a level set. If the function is a Morse(-Bott) function for example, then this is the graph (Reeb graph) whose vertex set is the set of all points containing some singular points in the corresponding connected component of the level set.

The author previously constructed explicit smooth functions on suitable 3-dimensional closed and orientable manifolds whose Reeb graphs are isomorphic to prescribed graphs and whose preimages are of prescribed types. The present paper concerns a variant in the case where the 3-dimensional manifolds may not be non-orientable.

Простiр Реба гладкої функцiї є топологiчним i комбiнаторним об’єктом. Вiн грає важливу роль для розумiння многовиду. Вiн є графом, який визначається як фактор-простiр многовиду, де вiдношення еквiвалентностi таке: двi точки многовида еквiвалентнi тодi i тiльки тодi, коли вони знаходяться в одному i тому ж зв’язному компонентi поверхнi рiвня. Якщо функцiя є функцiєю Морса(-Ботта), тодi це є графом (графом Реба), множина вершин якого є множиною всiх точок, що мiстять певнi особливi точки у вiдповiдних зв’язних компонентах множини рiвнiв.

Ранiше автор побудував явнi гладкi функцiї на вiдповiдних 3 - вимiрних замкнутих i орiєнтованих многовидах, графи Реба яких iзоморфнi заданим графам i прообрази яких мають заданi типи. У цiй статтi розглядається варiант в випадку, коли 3-мiрнi многовиди можуть не бути неорiєнтованими.

The purpose of this paper is to establish a Rodrigues type formula for $q$-Dunkl-classical symmetric orthogonal $q$-polynomials.

Нашою метою є встановити формулу типу Родрiгеса для $q$-класичних симетричних ортогональних $q$-полiномiв Данкла.

An orthogonal sequence with respect to a regular linear functional $w$ is said to be semiclassical if there exist a monic polynomial $\Phi$ and a polynomial $\Psi$ with $\deg(\Psi)\geq1$, such that $(\Phi w)^{'}+\Psi w=0$. Recently, all semiclassical monic orthogonal polynomial sequences of class one satisfying a three term recurrence relation with $\beta_{0}=-\alpha_{0}$, $\beta_{n+1}=\alpha_{n}-\alpha_{n+1}$ and $\gamma_{n+1}=-\alpha_{n}^{2}$ with $ \alpha_{n}\neq0\,,\;n\geq0,$ have been determined [17].

In this paper, we point sequences of the above family such that their corresponding Stieltjes function $S(w)(z)=-\displaystyle\sum_{n\geq0}\frac{(w)_{n}}{z^{n+1}}$ satisfies a quadratic equation $B(z)S^{2}(w)(z)+C(z)S(w)(z)+D(z)=0$, where $B$, $C$, $D$ are polynomials.

Ортогональна послідовність відносно регулярного лінійного функціонала $w$ називається напівкласичною, якщо існує моном $\Phi$ і поліном $\Psi$, $\deg(\Psi)\geq1$, такі, що $(\Phi w)^{'}+\Psi w=0$. Останнім часом всі напівкласичні монічні ортогональні поліноміальні послідовності першого класу, що задовольняють тричленному рекурентному відношенню, коли $\beta_{0}=-\alpha_{0}$, $\beta_{n+1}=\alpha_{n}-\alpha_{n+1}$ і $\gamma_{n+1}=-\alpha_{n}^{2}$ з $ \alpha_{n}\neq0$, $n\geq0,$ були визначені [17].

В статті вказуються послідовності вищевказаної сім'ї такі, що їх відповідна функція Стілтьєса $S(w)(z)=-\displaystyle\sum_{n\geq0}\frac{(w)_{n}}{z^{n+1}}$ задовольняє квадратичному рівнянню $B(z)S^{2}(w)(z)+C(z)S(w)(z)+D(z)=0$, де $B$, $C$, $D$ -- поліноми.